圆周率的计算PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一,早在大约3700年前,的古埃及人就已经用256/81（约3.1605）作为它的近似值了.几千年,来,人们一直没有停止过计算其精确值的努力.,“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个,国家当时数学发展水平的指标”_ 康托,两个任务:,了解圆周率的计算过程,设计计算圆周率的方法,实验一 圆周率的计算,1,1、实验时期,通过实验进行估算,这是计算圆周率的的第一阶段,中国:,“,圆径一而周三”,-,周髀算经,(2)“,周三径一,方五斜七”,-,木工口诀,古埃及：数谷粒与称重量：,2,2,、几何算法,用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法,3,6,边形,12,边形,24,边形,圆,刘徽:,割之弥细,所失弥少,.,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣,3.14145240288 (n=3072),阿基米德,4,祖冲之的这一研究成果享有世界声誉,:,巴黎“发现宫”科学博物,馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走,廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山,公元5世纪,祖冲之,隋书律历志：,“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二,秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五,约率,圆径七,周二十二。”,5,1579年,韦达证明,1630年,德国人鲁道夫:小数点以后35位,1150年,印度数学家婆什迦罗:3.14161424,1424年,中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325,.,3.14159265358979423846264338327950288,6,3,、分析方法,从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求的近似值,其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数.,麦琴(Machin)给出,(Machin公式),7,1656年,沃里斯(Wallis)证明,取,k,=10,取,k,=20,8,欧拉证明了,(1735),注：Basel Problem,1644年提出,9,1、Buffon投针,1.在白纸上画上许多条间距为d的平行直线,2.取长为l(ld)的针,随机地投掷在白纸上,投掷n次,观察与直线相交的次数,记为m.,4,、概率方法,针线相交的概率,10,随机投针的概率含义,针的中点,M,与平行线的距离,x,均匀分布于区间,0,d/2,针与平行线的交角均匀分布于区间,记针的中点为M,x表示点M与较近的平行线间距离,表示针与,平行线间夹角,在间隔为,d,的平行线间随机投掷长度为,l,的针,0,d/2中随机选取,x,0,中随机产生,构成平面中点,x,11,计算针和直线相交的概率是,设投掷,n,次,相交,m,次,则针与线相交的频率为,m/n,针与平行线相交的条件,n=2212,Buffon:,=3.142;n=5000,Wolf:=3.1593,12,d=45;l=36;n=20000;,x=;y=;P=;Q=;,for i=1:n,x1=rand*d*0.5;,y1=rand*pi;,if 2*x1=l*sin(y1),x=x,x1;y=y,y1;,else,P=P,x1;Q=Q,y1;,end,end,m=length(x),p=2*l*n/(d*m),s=0:0.01:pi;,plot(s,l*sin(s)/2,k,Linewidth,2),hold on,plot(y,x,r.),plot(Q,P,b.),plot(0,pi,0,0,k,Linewidth,2),plot(0,pi,22.5,22.5,k,Linewidth,2),plot(0,0,0,22.5,k,Linewidth,2),plot(pi,pi,0,22.5,k,Linewidth,2),axis(-0.2,3.3,-2,24),13,利用蒙特卡洛算法计算圆周率,14,利用蒙特卡洛算法计算定积分,15,2、互素数分布,取一个大整数N,在1到N之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率,注：,随机整数 randint(1,1,),求a,b最大公约数 gcd(a,b),16,5、数值积分方法,17,数值积分方法,18,6、代数迭代,对正数a,0,b,0,定义算术均值数列和几何均值数列,若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a,0,b,0,),取,则有,记,19,年代,1949,1973,1989,1999,2011,精确位数,2035,100万,10亿,2061亿,2000万亿,“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便,能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨,的一个量。”,西蒙纽克姆,20,实验一小结,1、几何算法:割圆法,正多边形逼近圆,2、分析算法:无穷级数,有限项逼近无穷项,3、数值分析:定积分计算,矩形逼近曲边梯形,4、概率统计:蒲丰投针、整数互素,21,提示:,思考题,(1)能设计其它计算圆周率的算法吗?,(2)如何计算无理数e?,22,