广东省东莞市中考数学一模试题(含解析).doc

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广东省东莞市2016届中考数学一模试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．﹣的倒数的相反数等于（　　）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×106 B．0.25×10﹣5 C．2.5×10﹣6 D．25×10﹣7
3．下列x的值能使有意义的是（　　）
A．x=1 B．x3 C．x=5 D．x=7
4．在下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（x5）2=x7 B．（x﹣y）2=x2﹣y2 C．x13÷x3=x10 D．x3+x3=x6
5．计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B．1 C． D．
6．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2﹣6x+1=0 D．5x+2=3x2
7．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
8．下面的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
9．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
10．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　）

A．48 B．56 C．63 D．74

二、填空题
11．在初三基础测试中，我学校的小明的6科成绩分别为语文118分，英语117分，数学117分，物理83分，化学80分，政治83分，则他的成绩的众数为　　　　　　分．
12．分解因式：ax2﹣4a=　　　　　　．
13．不等式组的解集是　　　　　　．
14．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为　　　　　　元．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为　　　　　　．

16．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积　　　　　　．

三、解答题
18．计算：|﹣|+﹣sin30°+（π+3）0．
19．解分式方程：．
20．如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）条件下，连接BD，若BD=9，BC=12，求∠C的余弦值．

四、解答题
21．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）

22．一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是　　　　　　；
（2）请用列表法或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在第一象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
23．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积．

五、解答题
24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求△PAB的面积．

25．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：∠PCA=∠ABC；
（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P=，CF=5，求BE的长．

26．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

2016年广东省东莞市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．﹣的倒数的相反数等于（　　）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
【考点】倒数；相反数．
【分析】根据倒数和相反数的定义分别解答即可．
【解答】解：﹣的倒数为﹣2，所以﹣的倒数的相反数是：2．
故选；D．
【点评】此题主要考查了倒数和相反数的定义，要求熟练掌握．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×106 B．0.25×10﹣5 C．2.5×10﹣6 D．25×10﹣7
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n=﹣6．
【解答】解：将0.000 002 5用科学记数法表示为：2.5×10﹣6．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．

3．下列x的值能使有意义的是（　　）
A．x=1 B．x=3 C．x=5 D．x=7
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣6≥0，解可得x的范围，进而选出答案．
【解答】解：由题意得：x﹣6≥0，
解得：x≥6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数是非负数．

4．在下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（x5）2=x7 B．（x﹣y）2=x2﹣y2 C．x13÷x3=x10 D．x3+x3=x6
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】利用积的乘方，完全平方公式，同底数的幂的除法，以及合并同类项求出结果即可确定答案．
【解答】解：A、（x5）2=x10，故选项错误；
B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故选项错误；
C、正确；
D、x3+x3=2x3，故选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

5．计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
=
=1．
故选：B．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．

6．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2﹣6x+1=0 D．5x+2=3x2
【考点】根的判别式．
【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的根的判别式，进而作出判断．
【解答】解：A、x2﹣8=0，△=32＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误；
B、2x2﹣4x+3=0，△=42﹣4×2×3=﹣8＜0，方程没有实数根，此选项错误；
C、9x2﹣6x+1=0，△=（﹣6）2﹣4×9×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项正确；
D、5x+2=3x2=，△（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
【解答】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．

8．下面的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：①、是轴对称图形，也是中心对称图形；
②、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
③、是轴对称图形，不是中心对称图形；
④、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选A．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．

9．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，
∴EO⊥AC，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，
∴AE=CE，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，
在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，
AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，
∴AE=EC=3﹣=2．
故选：A．

【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．

10．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　）

A．48 B．56 C．63 D．74
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据上面的数值变化规律求出m的值为7，然后根据每隔方格中数的规律求n即可，规律为：每个方格中的上面的数乘以下面左侧的数再加上上面的数得下面右侧的数．
【解答】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，
第一个方格中：3=1×2+1，
第二个方格中：15=3×4+3，
第三个方格中：35=5×6+5，
∴第四个方格中：n=7×8+7=63．
故选：C．
【点评】本题主要考查了通过数值的变化总结规律，解题的关键在于通过每个方格上面的数的变化规律求m．

二、填空题
11．在初三基础测试中，我学校的小明的6科成绩分别为语文118分，英语117分，数学117分，物理83分，化学80分，政治83分，则他的成绩的众数为　83和117　分．
【考点】众数．
【分析】小明的6科成绩中，83和117分出现了两次，即为众数．
【解答】解：∵83和117出现了两次，出现的次数最多，
∴其众数为83和117分．
故答案为83和117
【点评】本题考查了众数，知道众数的定义是解题的关键．

12．分解因式：ax2﹣4a=　a（x+2）（x﹣2）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
=a（x2﹣4），
=a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13．不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

14．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为　120　元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．
【解答】解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得
0.8×200=x+40
解得：x=120
答：商品进价为120元．
故答案为：120．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价﹣进价，建立方程是关键．

15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为　20　．

【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=9，BD=14，AC=8，
∴AD=9，OA=4，OD=7，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20．
故答案为：20．
【点评】本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键．

16．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积　16﹣4﹣　．

【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】如解答图，作辅助线，利用图形的对称性求解．解题要点是求出弓形OmC的面积．
【解答】解：如图，设点O为弧的一个交点．
连接OA、OB，则△OAB为等边三角形，∴∠OBC=30°．
过点O作EF⊥CD，分别交AB、CD于点E、F，则OE为等边△OAB的高，
∴OE=AB=，∴OF=2﹣．
过点O作PQ⊥BC，分别交AD、BC于点P、Q，则OQ=1．
S弓形OmC=S扇形OBC﹣S△OBC=﹣×2×1=﹣1．
∴S阴影=4（S△OCD﹣2S弓形OmC）4[×2×（2﹣）﹣2（﹣1）]=16﹣4﹣．
故答案为：16﹣4﹣．

【点评】本题考查了扇形的面积公式和正方形性质的+应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．

三、解答题
18．计算：|﹣|+﹣sin30°+（π+3）0．
【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；算术平方根；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】本题要分清运算顺序，先把绝对值，乘方计算出来，再进行加减运算．
【解答】解：原式==4．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值等考点的运算．

19．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】本题的最简公分母是x（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣2），
得：x=3（x﹣2），
解得：x=3，
检验：当x=3时，（x﹣2）x≠0，
∴x=3是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．

20．如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）条件下，连接BD，若BD=9，BC=12，求∠C的余弦值．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；解直角三角形．
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的一半长为半径画弧，两弧交于两点，再过两点画直线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根据余弦定义可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=BC=6，BD=CD=9，
∴cos∠C===．

【点评】此题主要考查了基本作图，以及三角函数定义，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

四、解答题
21．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE=50就能求得河宽．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，
在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x
在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=CE=x，
∴x=x+50解之得：x=25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．

【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．

22．一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是　　；
（2）请用列表法或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在第一象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）通过列表展示所有12种等可能性的结果数；
（3）找出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数，然后根据概率公式计算两人获胜的概率．
【解答】解：（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是；
故答案为；
（2）列表如下：

﹣1
﹣2
3
4
﹣1

（﹣1，﹣2）
（﹣1，3）
（﹣1，4）
﹣2
（﹣2，﹣1）

（﹣2，3）
（﹣2，4）
3
（3，﹣1）
（3，﹣2）

（3，4）
4
（4，﹣1）
（4，﹣2）
（4，3）

（3）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点（x，y）在第一象限或第三象限的结果有4种，第二象限或第四象限的结果有8种，
所以小红获胜的概率==，小颖获胜的概率==．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

23．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）首先把点A坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值，然后再把A点坐标代入一次函数解析式中求出b的值；
（2）两个解析式联立列出方程组，求得点B坐标即可，在求出点C坐标，把△A0B的面积转化成△A0C的面积+△C0B的面积即可．
【解答】解：（1）∵已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4），
∴﹣k+4=k，
解得k=2，
故反比例函数的解析式为y=，
又知A（1，2）在一次函数y=x+b的图象上，
故2=1+b，
解得b=1，
故一次函数的解析式为y=x+1；
（2）由题意得：，
解得x=﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣1），
令y=0，得x+1=0，解得x=﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴S△A0B=S△A0C+S△C0B
=×1×2+×1×1
=1+
=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数图象上点的坐标特征的知识点，解答本题的突破口是求出k的值以及点C坐标．

五、解答题
24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求△PAB的面积．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据两个角对应相等的两个三角形相似，相思三角形的性质，可得BP的长，再根据平行线截三角形所得的三角形相似，相似三角形的性质，可得BD的长，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1（不符合题意，舍），x=3，即B点坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入，得
，解得，
直线BC的解析式为y=x﹣3；
（3）如图，
过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA， =．
∵BO=OC=3，
∴BC=3．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，∴ =，
解得BP=．
由题意可得：PD∥OC，
∴△BDP∽△BOC，∴ ==，
则==，
解得DP=BD=，
S△APB=AB•PD=××4=．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定与性质得出PD的长是解题关键．

25．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：∠PCA=∠ABC；
（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P=，CF=5，求BE的长．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）欲证明△ACD∽△ABC，只要证明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．
（2）利用等角的余角相等证明，即证明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解决问题．
（3）先证明FA=FC=5，在RT△ADF中，根据sin∠FAD=求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半径，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=求出BE即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
（2）证明：连接OC．
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC．
（3）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴=，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠BC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=，
∴sin∠FAD=，
∴FD=3，AD=4，CD=8，
在RT△COD中，设CO=r，则有r2=（r﹣4）2+82
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠EAB=，
∴，
∴=，
∴EB=12．

【点评】本题考查圆的有关知识、相似三角形的判定和性质三角函数、勾股定理等知识，注意连接OC是圆中常用辅助线，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解题的关键，属于中考压轴题．

26．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；
（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．
【解答】解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：
则∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM=90°，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=4，
∴OE=t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：
连接AM，如图2所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN=OA=4；
（3）∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴，
即，
∴AD=﹣t2+t，
∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+4，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四边形BNDM的面积S=MN•BD=×4（t2﹣t+4）=（t﹣2）2+6，
∴S是t的二次函数，
∵＞0，
∴S有最小值，
当t=2时，S的值最小；
∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果．

between the requirements. And in the encounter the tedious work, complex things, sometimes take the method of escape, that bridge the boat to the bridge straight ", not their own force please find countermeasures, but to wait for the self, the lack of a spirit of hard research.Two, the cause of the problemThrough the analysis, I feel that there are many reasons for these problems.One idea is obsolete. The failure to do system research on the essence of reading the original, palm and master the theory of quality read without thorough understanding, has not been effectively13