高中物理磁场带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题.doc

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题
一、 带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法
物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。
在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？ 下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：
1．对称思想
带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有 ＝＝2＝t，如图所示。

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。
【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

【审题指导】
本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【名师点睛】
当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
2．放缩法
带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上。

由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”。
【典例】 如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

3．平移法

带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，如图所示。

同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R＝mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”。
【典例】 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s。

已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
【解析】α粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R，由qvB＝m，得R＝，代入数值得R＝10 cm，可见2R>l>R.
由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可先考查速度沿负y方向的α粒子，其轨迹圆心在x轴上的A1点，将α粒子运动轨迹的圆心A1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示。

【答案】 20 cm
【典例】 如图所示，S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；

① 若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？
② 若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
③ 若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，则档板上出现电子的范围多大？
【审题指导】
电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O；由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图所示，

最低点为动态圆与MN相切时的交点，最高点为动态圆与MN相割，且SP2为直径时P为最高点。

【答案】见解析
【名师点睛】
本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。
二、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题
1. 有界磁场分布区域的临界问题
该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。
容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧。解决的方法就是加强有界磁场圆形区域与带电粒子运动径迹所在圆的圆心以及半径的对比。
在涉及多个物理过程问题中，依据发生的实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系的物理量，采用递推分析或者依据发生的阶段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分析，依据不同的运动规律进行解决。
【典例】 一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
【审题指导】
由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，

只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。

【典例】如图所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场. 不计重力，求：

(1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
(2) 此匀强磁场区域的最小面积。
【审题指导】
根据带电粒子的电性和入射、出射方向，结合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小？由C点入射的粒子的运动轨迹，能否确定出粒子运动的上边界？取边BC中点，画出轨迹，以D为原点、DC为x轴、DA为y轴建立坐标系，能否写出P点的坐标，你会有什么发现？
【解析】 (1) 设匀强磁场的磁感应强度的大小为B. 令圆弧 是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力f＝Bev0 ，应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧 的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a ，按照牛顿定律有f＝m　
联立得B＝

图中，圆弧 的圆心为O，PQ垂直于BC边，由③式知，圆弧 的半径仍为a，在以D为原点、DC为x轴、AD为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为
x＝asinθ
y＝－[a－(a－acosθ)]＝－acosθ
这意味着，在范围0≤θ≤内，P点形成以D为圆心、a 为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周 和 所围成的，其面积为S＝2(πa2－a2)＝a2.
【答案】(1) 垂直于纸面向外 　(2)　 a2　
【名师点睛】
确定带电粒子在有界磁场中运动的最小面积时，可将粒子运动的边界点的运动轨迹用标准的尺规作图，然后借助数学方法找出边界的特点，最终由几何方法求出面积．
2．求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题
该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界磁场区域，在有限的空间内发生磁偏转，有可能是一个相对完整的匀速圆周运动，也有可能是圆周运动的一部分，对于后者往往要求在指定的区域射出，但由于初速度大小以及方向的差别，致使运动电荷在不同的位置射出，因此也就存在着不同情况的边界最值问题。
因外界磁场空间范围大小的限定，使运动的初始条件有了相应的限制，表现为在指定的范围内运动．确定运动轨迹的圆心，求解对应轨迹圆的几何半径，通过圆心角进而表述临界最值，这应当是解决该类问题的关键。
（1）带电粒子在“平行直线边界磁场”中的运动

甲 乙 丙
a. 圆心在磁场原边界上（如图甲）
① 速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；② 速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③ 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。

b. 圆心在过入射点跟边界垂直的直线上（如图乙）
① 速度较小时，作圆周运动通过射入点；② 速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③ 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。
c. 圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上（如图丙）
① 速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；② 速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③ 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。
【典例】如图甲所示，真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

【审题指导】
如图乙所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。

由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；
又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，
且由图知: 。
【答案】见解析
【名师点睛】
带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。
（2）带电粒子在“矩形边界磁场”中的运动
a. 圆心在磁场原边界上

① 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③ 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
b. 圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上

① 速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内从上侧面边界飞；③ 速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；④ 速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。
【典例1】　 (多选) 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　)

A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场
【解析】 如图所示，

【答案】AC
【典例】 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度方向射入一带电粒子。已知粒子质量为m，带电荷量为q，ad边长为l，不计粒子重力。求：

(1) 若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的范围是多少？
(2) 粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
【解析】　① 带电粒子在O点所受洛伦兹力方向垂直于v0，即图中OO1方向，所有粒子的轨道圆心均应在直线OO1上．

② 因矩形区域abcd足够长，所以当轨道与cd相切时，其半径应是所有从ab上射出的粒子中最大的，对应粒子的速度也最大．设上述切点为M，则该粒子轨道的圆心必在过M且与cd垂直的直线上．
③ 设轨道与cd相切的粒子，其轨道半径为R1，由几何关系可得
R1sin30°＋＝R1
解得R1＝l，由公式qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子速度为v01＝.
④ 对于从ab射出的、速度最小的粒子，其轨道应与ab相切，设切点为N，圆心为O2，半径为R2，则R2＋R2cos60°＝l，解得R2＝l，由qvB＝mv2/R可得v02＝.

【答案】　1)场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
【审题指导】
本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。
【解析】（1）轨迹如图所示

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。

由图中知
由得
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
【答案】见解析
【名师点睛】
带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。
b. 带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动
【典例】如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

【审题指导】
带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。
【解析】如图所示，

【答案】见解析

14