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指数函数和对数函数专题
指数函数及其性质：
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax

01时图象

图象

性质
①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1
x>0时，00时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）

① ② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、函数的定义域、值域
例1．求下列函数的定义域、值域.
(1)；2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)

举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1) (2)
(3) (4)

例2．讨论函数的单调性，并求其值域．

例3．讨论函数的单调性．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【变式2】求函数的单调区间.

【总结升华】
（1）研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
（2）研究型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设，再由内函数与外函数的单调性来确定的单调性．
例4．比较大小 (1) (2)22.5，(2.5)0，

举一反三：
【变式1】比较大小： ，，；
【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【变式3】如果（，且），求的取值范围．

类型三、判断函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)

【总结升华】
求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
类型四：指数函数的图象问题
例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

【总结升华】
：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．

例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是
．
【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c

例8．确定方程的根的个数．

对数函数及其性质

1．对数函数的概念
(1)定义一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的特征：
特征
【例1－1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．

2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质
(1)图象与性质

a＞1
0＜a＜1
图
象

性
质
(1)定义域{x|x＞0}
(2)值域{y|yR}
(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
(4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
(5)在(0，＋∞)上是增函数
(5)在(0，＋∞)上是减函数
(2)指数函数与对数函数的性质比较
解析式
y＝ax(a＞0，且a≠1)
y＝logax (a＞0，且a≠1)
性
质
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
过定点
(0,1)
(1,0)
单调性
单调性一致，同为增函数或减函数
奇偶性
奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数

【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从，，，中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)

A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，

点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法　作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．
3．反函数
(1)对数函数的反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数之间的关系
①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；
②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(3) 求已知函数的反函数
一般步骤如下：
①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；
②把x替换为y，y替换为x；
③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．
【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C． D．2x－2

【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1,9]
C．(0,1) D．[9，＋∞)

【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(　　)
A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)

4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值
【例4－1】已知f(ex)＝x，则f(5)＝(　　)
A．e5　　　B．5e　　　C．ln 5　　　D．log5e
【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值．

【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝，试求b的值．

5．对数型函数的定义域的求解
(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．
(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0．
(3)求函数的定义域应满足以下原则：
①分式中分母不等于零；
②偶次根式中被开方数大于或等于零；
③指数为零的幂的底数不等于零；
④对数的底数大于零且不等于1；
⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．
【例5】求下列函数的定义域．
(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；
(3)．

6．对数型函数的值域的求解
【例6－1】求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝．

【例6－2】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．

7．对数函数的图象变换及定点问题
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．
【例7－1】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．

【例7－2】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．

8．利用对数函数的单调性比较大小
两个对数式的大小比较有以下几种情况：
【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．
(1) log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141．

9．对数型函数单调性的讨论
(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．
(2)关于形如y＝logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：
函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．
例如：求函数y＝log2(3－2x)的单调区间．

【例10－1】求函数y＝loga(a－ax)的单调区间．

析规律 判断函数y＝logaf(x)的单调性的方法　函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．
【例10－2】已知f(x)＝(x2－ax－a)在上是增函数，求a的取值范围．

11．对数型函数的奇偶性问题
判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：
(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；
(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；
(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；
(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
例如，判断函数f(x)＝(xR，a＞0，且a≠1)的奇偶性．

【例11】已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)＞0的x的取值范围．