小学奥数模块教程四年级杯赛备战讲义——巧求面积.doc

巧求面积

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知识框架

知识点一：格点面积
一、 正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．
我们能发现如下规律：．这个规律就是毕克定理．
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为．

二、 三角形格点问题
1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．

知识点二：图形剪拼
本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．
（1） 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
（2） 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．
（3） 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
（1） 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．
（2） 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
（3） 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．
（4） 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．

一、 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
二、 解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

知识点三：等高模型
三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

例题精讲

模块一 基本图形剪拼

【例1】 一个长方形的纸折成三等份后变成了一个正方形，正方形的周长是40cm ,求原来长方形的面积是多少？

【巩固】 一个长方形折成四等份后变成了一个正方形，已知正方形的周长是25平方厘米，求原来长方形的面积是？

【例2】 如图，一个正方形被分成了4个相同的长方形．每个长方形的周长都是20厘米．则这个正方形的面积是________平方厘米．

【巩固】 如图，一个正方形分割成六个长方形，这六个长方形的周长和是多少？

【例3】 从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如右图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？

【巩固】 从一块正方形土地上，划出一块宽为4米的长方形土地（如下图），剩下的长方形土地面积是60平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？

【例4】 在长方形的一条边上任意取一点，连接这点和对边的两个端点得到一个三角形，这个三角形的面积比长方形的面积少25平方分米，则三角形的面积是多少平方分米？

【巩固】 在长方形的一条边上任意取一点，连接这点和对边的两个端点得到一个三角形，长方形面积比这个三角形面积多30平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？

【例5】 正方形的面积为30，一个含有45°角的直角三角板的直角边的长度是正方形边长的3倍，这个三角板的面积是多少平方厘米？

【巩固】 正方形的面积为40，一个含有45°角的直角三角板的直角边的长度是正方形边长的2倍，这个三角板的面积是多少平方厘米？

【例6】 将面积为36的正方形按图1的方式分成4个周长相等的正方形，则图中阴影长方形的面积为__________．

【巩固】 一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米．原正方形的边长是多少分米？

【例7】 学校校园里有一块长方形的地长18米，宽12米，想种上红花、黄花和绿草，一种设计方案如右图，那么其中红花的面积是____________平方米．

【巩固】 某校为了美化校园，准备在一块长32米、宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽道路，余下部分作草坪，使草坪面积为540米2，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案（如图），请你根据两种设计方案各列出方程，求图（1）、图（2）中道路的宽分别是多少？

【例8】 如下图，阴影小正方形的边长为1 分米，最大的正方形的边长为3分米，求正方形ABCD的面积？

【巩固】 如下图，每个格子都是边长为1cm的正方形，求阴影部分的面积。（可以多种方法求解）

【例9】 如图，求梯形ABCD的面积．如果用虚线将梯形分成面积相等的两部分，那么AE的长度是多少厘米？

【巩固】 如图是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？

模块二 差不变

【例10】 正方形与长方形如右图放置，厘米，那么正方形的面积比长方形的面积大__________平方厘米．

【巩固】 如右图，大小两个正方形部分重合，两块没有重合的阴影部分面积差是（）平方厘米。

【例11】 如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11．问灰色区与黑色区的面积的差是______．

【巩固】 大小两个正方形放置如图，大正方形空白部分比小正方形空白部分大多少？

【例12】 一块长方形的地分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户．甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩．已知，那么长方形的总面积是多少亩？

【巩固】 (1).下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

(2)正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A和C的和是多少平方厘米？

模块三 等高模型

【例13】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【巩固】 下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。

【例14】 如下图，和都是长方形，如果长方形的面积是30平方厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．

【巩固】 如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少？

【例15】 如图，已知E．F分别是AB．BC的中点，阴影部分的面积为21，求长方形ABCD的面积。

【巩固】 如图，已知E．F分别是AB．BC的三等分点，阴影部分的面积为20，求长方形ABCD的面积。

【例16】 右图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（ ）．

【巩固】 图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．

【例17】 如图，的面积为36，点在上，，点在上，，则的面积是________．

【巩固】 如图，三角形ABC 中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE 的面积是20 平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

【例18】 如图，四边形是梯形，上底是8，下底是16，点是边上的任意一点，如果的面积是30，那么梯形的面积是__________．

【巩固 如图，四边形是梯形，上底是10，下底是20，点是边上的任意一点，如果的面积是40，那么梯形的面积是__________．

模块四 方方模型

【例19】 如图，在一大一小两个正方形拼成的图形中，阴影部分的面积是50平方厘米，则小正方形的面积是__________平方厘米．

【巩固】 如图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？

【例20】 如下图，正方形的边长为12厘米，正方形的边长为8厘米，是正方形的中心（对角线的交点），那么阴影部分的面积是_________平方厘米．

【巩固】 如图所示大、小两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，已知AB=2EF，图中阴影部分的面积为31平方厘米，那么小正方形CEFG的面积是多少平方厘米？

【例21】 如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，阴影部分三角形面积为240，请问三个正方形的面积和是_________．

【巩固】 如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，阴影部分三角形面积为120平方厘米，请问三个正方形的面积和是_________．

【例22】 大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长大，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是20平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（ ）平方厘米．

【巩固】 大,中,小三个正方形,边长都是整厘米数,小正方形的周长比中正方形的边长大.把这两个正方形放在大正方形中, 大正方形露出部分的面积是28平方厘米,大正方形的面积是多少平方厘米?

模块五 格点面积

【例23】 如下图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为（ ）平方厘米．

【巩固】 把大正三角形每边八等份，组成如图所示的三角形网。如果每个小三角形的面积都是1，求图中粗线所围成的三角形的面积。

【例24】 已知如图，在正三角形网络中，每个小正三角形的面积是1，请你在图2中画出一个三角形，使三角形的面积是图1阴影部分面积的一半。

【巩固】 正方形网络中，每个小正方形的边长为1，请你在图2中画出一个等腰三角形，使三角形的面积跟图1阴影部分面积相等。

【例25】 图2的“蝙蝠”图案由若干个等腰直角三角形和正方形组成，已知阴影部分的面积为1，则“蝙蝠”图案的面积是__________．

【巩固】 下面小方格的边长是1cm，方格中阴影的面积分别是多少？

．

【例26】 如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为_________平方厘米．

【巩固】 如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?

【例27】 右图中，相邻两个格点的距离为1，那么阴影部分的面积是_________．

【巩固】 “乡村小屋”的面积是多少？（相邻两点间距离是1）

【答案】18

模块六 正六边形的分割和拼接

【例28】 如下图，大正六边形的面积是24平方厘米，其中放了三个一样的小正六边形。阴影面积是多少平方厘米？

【巩固】 如下图，有一个大正六边形，连接对角线后取中点，连接后得到一个小正六边形，已知阴影部分面积是36平方厘米，求大正六边形的面积？

【例29】 如图所示，三个正六边形的面积均为6平方厘米，那么，阴影部分的面积是__________平方厘米．

【巩固】 如图，正六边形的面积是24平方厘米，求阴影部分的面积．

【例30】 如图，六边形的各边都相等，每个内角都是120°，每两条线的延长线交于一点，三个交点构成一个等边三角形，若阴影部分的面积和是，则六边形的面积是多少？

【巩固】 如图，六边形的各边都相等，每个内角都是120°，每两条线的延长线交于一点，三个交点构成一个等边三角形，若正六边形的面积和是，则阴影部分的面积是多少？

【例31】 下图是一个正六边形，面积是360平方厘米，、、、分别是四条边的中点．那么，阴影部分的面积是_________平方厘米．

【巩固】 如图，六边形ABCDEF的面积是16平方厘米，M，N，P，Q分别是AB，CD，DE，AF的中点，求图中阴影部分的面积．

模块七 重叠问题

【例32】 桌面上放有四张大小不同的正方形纸片，边长分别为2、3、4、5．若分别取走边长为 2、3、4、5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2、3、4、5．那么四张纸片覆盖的面积为____________．

【巩固】 用三种不同的色纸剪成大、小、中三个正方形，把它们部分叠合放在桌面上（如图所示），遮盖了桌面65平方厘米。如果大正方形的边长为7厘米，中正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为3厘米，且有两层色纸遮盖的部分分别为6平方厘米，4平方厘米、2平方厘米。那么有三层色纸遮盖的部分面积为多少平方厘米？

模块八 最值问题

【例33】 将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是_________平方厘米．

【巩固】 将长为14厘米，宽为10厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是_________平方厘米．

【例34】 右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下部分的面积最大是多少？

【巩固】 下图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，三个3，两个4和两个5，那么纸板剩下部分的面积最大是多少？

【例35】 如图，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形、、的周长分别是10厘米、12厘米、14厘米，那么长方形的面积最大是____________平方厘米．

【巩固】 如图，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形、、D的周长分别是12厘米、14厘米、17厘米，如果每个长方形的边长都是整数，那么长方形A的面积最小是____________平方厘米．

家庭作业

【作业1】 一个面积是16平方厘米的正方形纸，折成四等份，求每一份的面积？

【作业2】 一个长方形的花坛被平均分成八个小正方形，已知每个小正方形的周长是15 米，
长方形花坛的周长是多少米？

【作业3】 从一块正方形土地中，画出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米

【作业4】 如右图，大小两个正方形部分重合，两块没有重合的阴影部分面积差是（）平方厘米。

【作业5】 一个含有45°角的直角三角板的面积为40，正方形的边长是这个三角板直角边的边长的2倍，这个正方形的面积是多少平方厘米？

【作业6】 在长方形的一条边上任意取一点，连接这点和对边的两个端点得到一个三角形，剩余部分面积比长方形面积少30平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？

【作业7】 如图，已知E．F分别是AB．BC的中点，G是EF的三等分点，阴影部分的面积为1，求长方形ABCD的面积。

【作业8】 下图是由四个完全相同的正六边形和一个长方形组成，已知大长方形和四个小正六边形的面积之差是32平方厘米，求四个小正六边形面积的和？

【作业9】 如图，六边形的各边都相等，每个内角都是120°，每两条线的延长线交于一点，三个交点构成一个等边三角形，若三角形1的面积是，则正六边形的面积是多少？

【作业10】 已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积各是多少平方厘米？

【作业11】 如图，大长方形形的面积是100平方厘米，其中放了四个一样的小正六边形．阴影面积是平方厘米．

【作业12】 将长20厘米，宽为12厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是_________平方厘米．

【作业13】 下图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，两个2，三个3和两个5，那么纸板剩下部分的面积最大是多少？

【作业14】 如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A=160，B=172，C=215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是平方厘米．

【作业15】 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？

【作业16】 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

【作业17】 如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。

【作业18】 把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。

【作业19】 如图，长方形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DA边上的中点，已知长方形ABCD的面积是30平方厘米，求阴影部分的面积．

【作业20】 如下图，取大正方形四条边上的三等分点，顺次连接得到一个四边形，已知大正方形边长为3cm，求阴影部分的面积。

【作业21】 如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?

【作业22】 如图，每个小方格的边长是1，那么图中阴影部分的面积总和等于多少？

【作业23】 利用格子计算下列图形的面积（每格是1个面积单位）。

【作业24】 相邻两点之间距离为1厘米,那么阴影部分(如图)的面积是多少平方厘米.

【作业25】 如图5，从边长是6厘米的正方形纸片的正中间挖去一个正方形，得到一个宽为1厘米的方框，从四个这样的方框如图6所示依次垂直交叉放在桌面上，求桌面倍这些方框盖住的面积（图6阴影部分的面积）．

【作业26】 如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米．

【作业27】 如图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米．则四边形CMGN（阴影部分）的面积是平方厘米．

【作业28】 如下图，求三角形面积。

【作业29】 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上。这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？

【作业30】 在如图中，如果每个小正方形的边长都是1厘米，那么，三角形和平行四边形的面积各是多少？

【作业31】 已知如图，在正三角形网络中，每个小正三角形的面积是1，请你在图2中画出一个三角形，使三角形的面积是图1阴影部分面积的一半。

【作业32】 已知大正方形比小正方形编程多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米。问大小正方形面积各是多少？

【作业33】 如图，两个正方形的边长分别是10厘米和8厘米，图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形空白部分的面积相差多少平方厘米。

【作业34】 如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？