小学六年级奥数第十四章统筹问题.doc

第十四章 统筹问题
知识要点
在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。这就涉及这一章的知识“统筹问题”。它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
例1 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相距5千米(如下图)，参加会议的人数甲村8人，乙村5人，丙村3人，丁村7人。试求赵乡长应在( )村子召集会议最为合理。

甲村 乙村 丙村 丁村
8人 5人 3人 7人
点拔 要使所有参加会议的人所走路程的总和最小，首先，某村人数是总人数的一半以上，该村就是设置会场的最好地点，这称为“小往大靠”。
其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近
村庄，这称“支往干靠”。
解 四村总人数的一半是(8＋5＋3＋7)÷2＝11.5(人)，没有一个村庄的人数多于11.5人，属于“支往干靠”。
甲村人数＋乙村人数＝8＋5＝13(人)
丙村人数＋丁村人数＝3＋7＝10(人)
因为10＜13，所以“小往大靠”。
显然会议地点应选在乙村最为合理。
例2 天津和广州同时制成大型电子计算机若干台，天津可调往外地12台，广州可调往外地6台。现决定给成都调去10台，给合肥调去8台，若每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？

点拨一 依题意，设广州调往合肥x台(x≤6)。根据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，再通过对最值问题的讨论，则问题易解。
解法一 设广州调往合肥x台(1≤6)，则广州调往成都应为(6－x)台，天津调往合肥(8－x)台，天津调往成都12－(8－x)＝(4＋x)台，则总费用为：
400x＋600×(6－x)＋500×(8－x)＋900×(4＋x)
＝400x－600x－500x＋900x＋3600＋4000＋3600
＝200x＋11200
要使运费最省，只有当x＝0时，这时总运费为11200元。即天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台全调运至成都，运费最省。
点拨二 通常从运费最少的地方考虑，如广州的6台全运给合肥，则合肥还缺2台，再从天津运2台给合肥，其余运给成都。计算总费用，但不一定最少。还应比较一下，需要量多、运费也多的地方如何运才能使运费最省，如广州的6台全运给成都后，再从天津运4台给成都，其余全部运给合肥。计算总运费，比较一下便知，怎样调运运费最少。
解法二 通常从运费最少的那个地方考虑，如广州的6台全运往合肥只需400×6＝2400(元)，还缺2台，再从天津运来2台运费为500×2＝1000(元)，总计：2400＋1000＝3400(元)，与上面计算的从天津调8台到合肥的运费500×8＝4000(元)比较是节省了，但总的费用反而多：10×900＋3400＝12400。这就告诉我们，应该先比较一下，需要量多运费也多的地方如何运最省。如运往成都，广州6台运费600×6＝3600(元)，成都还缺少4台，再从天津调运，运费900×4＝3600(元)，比直接从天津调运到成都省10×900－3600－3600＝1800(元)。因此天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台调运至成都，运费最少。
例3 (“华罗庚金杯”决赛试题)有十个村庄，坐落在从水库出发的一条公路上(如下图，距离单位是千米)，要安装水管，从水库送自来水供给各村，可以用粗细两种水管。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元。把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的方法，费用应是多少？

点拨 由题意可知，粗管每千米的费用正好是细管每千米费用的4倍，因此，如果在同一段上要安装4根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用。
解 假设从水库到每个村子都各接一根细管(如上图)，那么在AB1、AB2、AB3、AB4、AB5、AB6之间各有10根、9根、8根、7根、6根、5根细管，应该把A与B6之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这时的总费用是
8000×(30＋5＋2＋4＋2＋3)＋2000×(2×4＋2×3＋2×2＋5)＝414000(元)
说明 做这类问题时，根据粗管费用是细管费用的a倍(或＜a倍)，那么最后a(或a－1)个村子用细管，这样费用最省。
例4 (北京市“迎春杯”竞赛试题)甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟货物耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升。运完这些货物最少耗油多少升？
点拨 大卡车载重7吨，运一趟货物用汽油14升，运1吨货平均用汽油14÷7＝2(升)；小卡车载重4吨，运一趟货物用汽油9升，运一吨货平均耗油9÷4＝2(升)。因为大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。
解 (1)如果89吨全用大卡车运，要运89÷7≈13(趟)，耗油14×13＝182(升)。
(2)如果用大卡车运12趟，89＝7×12＋5，所以剩下的5吨要用小卡车运2趟，耗油14×12＋9×2＝186(升)。
(3)如果用大卡车运11趟，89＝7×11＋12，所以剩下的12吨用小卡车运3趟，耗油14×11＋9×3＝181(升)。
三种方法比较，安排大卡车运11趟，小卡车运3趟耗油最少，最少耗油181升。
说明 计算这类问题时要注意，不一定是大、小卡车正好把货物装完才最省油，需要尝试几种运法后才能得出正确答案。
例5 (第二届“祖冲之杯”邀请赛试题)某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可看做是固定不变的)。在任何情况下，他总会采用花时间最少的最佳方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间。为了到达离他8千米的地方，他需要花多少分钟？请简述理由。
目的地
目的地距住地的路程
最佳方案所需时间
A地
2千米
12分钟
B地
3千米
15.5分钟
C地
4千米
18分钟

点拨 A、B两地离住地相差1千米，多用3.5分钟；而B、C两地离住地相差1千米，只多用2.5分钟，由此可见，到A、B、C三地采用了不同的方案。由于候车时间是固定的，由常识可知较远处的C地是乘公共汽车，而较近的A地是骑自行车。
解 显然去B地不是骑自行车，因为如果去B地采用骑自行车的方案，那么需要的时间是(12÷2)×3＝18(分钟)，而实际最佳方案只需15.5分钟，所以去B地是乘公共汽车。

由B、C两地都是乘公共汽车，可知汽车行1千米需18－15.5＝2.5(分钟)，由此又可算出候车时间是8分钟。
所以，到达离住地8千米的地方应用乘公共汽车的方案，需要时间是8＋2.5×8＝28(分钟)。
说明 这类题要根据路程间的相差关系和时间的相差关系来确定出最佳方案。
例6 有四辆汽车要派往五个地点运送货物(如右图)，○中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？

点拨一 可用尝试法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5名工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。由此得到，跟车人数的试探范围是1～5人。
解法一 若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；
若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需17人；
同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。
可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人。
点拨二 假设有m个地点，n辆车(n≤m)，m个地点需要的人数按从多到少排列为
A1≥A2≥A3≥…≥Am，
则需要的最少总人数就是前n个数之和，即
A1＋A2＋…＋An。
这时每车的跟车人数可以是An＋1至An之间的任一数。
解法二 具体到例6，5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5＋5＋4＋3＝17(人)就是需要的最少总人数，因为A4＝A5＝3，所以每车跟车3人。若在例6是只有2辆车，其他条件不变，则最少需要5＋5＝10(人)，因为A2＝5，A3＝4，所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，所有点不再安排人；当每车跟车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安排人。
说明 如果车辆数大于地点数，即n＞m，则跟车人数是0，各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。
例7 (第四届“希望杯”邀请赛试题)某班40名师生星期天参加植树活动，师生按身体状况分成甲、乙、丙三种人员。他们的任务是挖树坑和运树苗两种活，要求挖树坑30人，运树苗则运得越多越好。甲、乙、丙三种劳动人员的效率，如下表所示，试求最合理的人员分配方案及运树苗总数。

点拔 看了题目后，一定会有人觉得这个问题不难解决，可以让甲种人员去挖坑，乙种和丙种人员去运树苗。这确实是一种方案。由于这种方案满足挖30个坑的要求，并且运树苗为220棵(10×15＋7×10)。但这种方案不是最优方案。我们的目的是在完成挖树坑30个的基础上，使运树苗尽可能多，此时应用的方法是“相对效率”法。
解 先求出各种劳动人员的挖坑与运树的相对效率：
甲＝＝0.1，乙＝＝0.12，丙＝＝0.114
由此得到：甲＜丙＜乙。
因为乙种人员挖坑的相对效率高，所以优先安排乙种人员去挖坑。乙种人员共15人，挖坑1.2×15＝18(个)，这不能完成挖30个树坑的任务，再安排相对效率次高的丙种人员去挖坑，丙种人员共10人，挖坑8个(0.8×10)，还差4个树坑，最后安排2个甲种人员去挖坑，这样30个树坑的任务全都安排好了，剩下的13名甲种人员是运树，可运260棵(20×13)树苗。这显然比前面所得220棵要多，如此得到了最优方案。即由13名甲种人员去运树苗，其余的人员全部去挖树坑。
说明 “相对效率”是指一名劳动人员干两种工作的效率之比，如本题中甲种劳动人员挖树坑与运树苗的效率之比是＝0.1，它是指甲种劳动人员平均运一棵树，相当于他挖0.1个树坑。又如乙种劳动人员的相对效率是＝0.12，即乙种人员运一棵树，相当于他挖0.12个树坑。如此可知，虽然乙种人员一天内挖树坑或运树苗的单一效率比甲种人员差，但相对效率却比甲高，这就是说乙种人员在挖树坑时要比运树苗发挥的能量更大。

解题技巧
统筹问题包含的内容非常广泛，并且每类问题都有特定的解法。如排队问题，一般是把时间少的人或事放在前面；物资调运问题要巧妙设点加以解决；最少人力问题要采用逐步调整法，找出符合要求的答案。有些问题存在着两种或两种以上的方案，需要根据题意选择最佳方案；有些数字问题的分析、解答与两个或两个以上的条件有关系，根据解题的需要同时兼顾这些条件分析思考。在学习过程中，要掌握分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则，调整比较的思想，尝试探索的方法等。

竞赛能级训练
A 级
1.A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A、B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示。如何调运才能使运费最少？

2.电车公司维修站有7辆电车需要进行维修。如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12分钟、17分钟、8分钟、18分钟、23分钟、30分钟、14分钟。每辆电车每停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最低程度，最少损失多少元？
3.某蔬菜专业队有甲等劳力15人、乙等劳力23人、丙等劳力15人、丁等劳力25人，他们既要整地，又要种菜，而且要求每天整出的地要及时种上菜。应如何调配安排劳力，才能使一天种菜25公亩，并整地尽量多？(各种劳力整地和种菜的效率如下表)

4.A、B两地油井每月各产原油30万吨、50万吨，准备投资修建＝座炼油厂，加工A、B两地所产的原油炼油厂建于何处时，才能使运费最省？(两地吨公里运费相同)
5.打字室收到一份共12整页的文件，要求尽快打印。小王每小时能打3页，小红每小时能打4页。两人同时打字，小王和小红各打多少页完成任务最快？需要多少小时？
6.某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能的少，那么甲、乙合放最少需多少小时？
7.有一个80人的观光团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间。男、女分住不同房间，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。他们至少要住几个房间？

B 级

1.一条单线铁路上有A、B、C、D、E五个车站，它们之间的距离如下图所示(单位：千米)。两列火车同时从A、E两站相对开出，从A站开出的火车每小时行60千米，从E站开出的火车每小时行50千米。由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，须在车站停车，才能让开行车轨道。因此应该安排在( )站相遇，才能使停车等待的时间最短。先到这一站的那列火车至少需要停车( )分钟。

2.某种产品是由一个大零件和两个小零件组成的，师傅每小时可生产9个大零件或者14个小零件。徒弟每小时可生产3个大零件或者10个小零件。现在要生产27个这种产品，两人合作至少用多少小时？
3.建筑工程队给窗户安铁齿，需要长度分别为44cm、36cm、65.5cm的钢筋。现在有一批长800cm的钢条，每锯断一根需要损耗0.5cm。最好每根800cm长的钢筋锯成44cm的( )根，36cm的( )根，65.5cm的( )根才不浪费。
4.某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制(每套一件上衣和一条裤子)，7天中这四个小组最多可缝制多少套衣服？
5.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一段。现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？
6.有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等最后一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛。现有机船和木船可各坐10人和25人，机船速度为每分钟300米，机船速度是木船速度的两倍。最后一批少先队员到达乙岛最短需要多长时间？(按小时计算)
7.甲、乙两个服装厂的工人和设备都能全力生产同一规格的西服。甲厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？
8.某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A～G七个居民区，每两个居民区间的距离如右图所示(单位：千米)。管道有粗、细两种规格，粗管可供所有七个居民区用气，每千米8000元；细管只能供一个居民区用气，每千米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中，问应怎样搭配使用这两种管道才能使费用最省？

9.一条环行道路，周长2千米。甲、乙、丙三人从同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙或丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。请你设计一种走法，使三个人、两辆车同时到达终点。环形两周最少要用多少分钟？

能力测试
一、填空题(每题8分，共48分)
1.炒一道菜需五道程序，每道程序所需时间如下：洗菜3分钟，切菜2分钟，刷炒菜锅1分钟，烧热油4分钟，炒菜3分钟。那么炒好这道菜所需的最短时间为 分钟。
2.小明、小刚、小红、小芳四人分别用16千克、14千克、12千克、10千克的水桶在同一个水龙头下打水，假设每分钟水的流量是1千克，那么四人等待打水的总时间最少是 分钟。
3.如右图所示，工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D。一辆汽车最少跑( )米可完成任务。

4.(北京市第七届“迎春杯”竞赛试题)若干箱同样的货物总重19.5吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要( )辆，才能保证把这些货物一次全部运走(箱子不能拆开)。
5.用10米长的钢筋做原材料，截取3米和4米长的钢筋各100根，至少要用( )根原材料。
6.有四辆汽车要派往七个地点运送货物，右图中的数字分别表示这七个地点完成任务需要的装卸工人数。如果装卸工可以跟车，那么最少要安排( )名装卸工才能完成任务。

二、解答题(每题13分，共52分)
1.少先队员参加植树劳动，每人植树2棵，如果一人挖一个树坑需要10分钟，取树苗(每人每次最多可取4棵)需要20分钟，运水(每人每次运的水可浇4棵)需要20分钟，栽一棵树需10分钟。若两人合作最少需多少分钟？
2.师徒两人生产一种产品，这种产品由一个甲配件和一个乙配件配成一套。师傅每天能生产300个甲配件，或者生产150个乙配件；徒弟每天能生产120个甲配件，或者生产48个乙配件。为了在今年最后的10天里生产出更多的成套产品，师徒两人决定合作生产，并进行最合理的分工。这样，他们能生产出多少套产品？
3.(全国竞赛试题)汽车由甲地到乙地要行6天，但每辆汽车所带的汽油仅够走完4天的行程。因途中无加油站，所以需要几辆汽车同行，以使其中的汽车给另外的汽车加油后再返回。如果要保证一辆汽车走完全程，至少需要多少辆汽车中途加油？
4.大小两车在窄胡同里相遇，必须有一车倒退让路，需要倒车的距离小车是大车的3倍，小车速度是大车的2倍，倒开的速度是正开速度的。为了尽快使两车都穿过胡同，哪一辆倒退好？