1、初中数学竞赛辅导资料（3）
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：
① 当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
② 当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
③ 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
（这个解可用加减消元法求得）
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
乙例题
例1. 选择一组a,c值使
2、方程组
① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a取什么值时，方程组 的解是正数？
解：把a作为已知数，解这个方程组
得 ∵ ∴
解不等式组得 解集是6
答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数。
例3. m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
解：把m作为已知数，解方程组得
∵x是整
3、数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。
取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。
解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
由（1）得x= 100－y－z (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z－
设(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300 －27k
∵x,y,z都是正整数∴解得（k是整数）
∴10＜k<, ∵k是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
① ② ③
2． a取什么值时方程组的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
4． 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
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