小学奥数不定方程(教师版).doc

不定方程

在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个方程。当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程的正整数解。
【解析】因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数

【小试牛刀】求方程4x＋10y＝34的正整数解
【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……
x＝1时，17－2x＝15，y＝3，
x＝6时，17－2x＝ 5，y＝1，
x＝11时，17－2x＝17 －22，无解
所以方程有两组整数解为：
【例2】★ 设，都是正整数，并且满足，求的值。
【解析】
3A+11B=17，因为A、B为正整数，所以A=2，B=1，A+B=3
【例3】★★（北大附中入学考试真题）14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个?
【解析】设大、中号钢珠分别有x，y个，则小号钢珠有(14-x-y)个。由题意可得12x+8y+5(14-x-y)=100，化简得7x+3y=30。可求出正整数解x=3，y =3，14-x-y =8。
【小试牛刀】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚?
【解析】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃(41x+lly)个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程
7x+29y=41x+1ly．
化简为9x=17y。当x=9，y=17时和尚最少，有
7×9+29×17=556(个)。
【例4】★★长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽.
【解析】设长方形长为x，宽为y，则2x+2y=xy，两边同时除以2xy，
得，因为x、y均为整数，所以x=1，x=2时，y不存在
所以，，

【例5】★★ 已知，，是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上，分母不变，所得三个新分数的和为，求等于多少?
【解析】因为是真分数，所以A=1，
，化简得4B+3C=7，因为，均为真分数，
所以B=1，C=1
【例6】★★甲班有42名学生，乙班有48名学生。某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分均为整数，且平均成绩均高于80分，那么甲班成绩比乙班成绩高多少分？
【解析】甲班成绩为x，乙班成绩为y

，由方程①8y=7x. 因为x、y均为整数，x>80，y>80，
所以x=96，y=84. x-y=12
【小试牛刀】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声．问：波斯猫至少叫了多少声？
【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声．设在这15天内早晨见面次，晚上见面次．根据题意有：(，)．
可以凑出，当时，；当时，；当时，．
因为小花狗共叫了 声，那么越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当，时波斯猫叫得最少，共叫了(声)．
【例7】★★袋子里有三种颜色不同的球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从袋中取出10个球，数字和21，问红，黄，蓝颜色的各有多少个？
【解析】设红球x个，黄球y个，蓝球（10-x-y）个
则x+2y+3（10-x-y）=21，化简2x+y=9
因为y为奇数，所以y=1,3,5,7,9，所以x=4,3,2,1,0，10-x-y=5,4,3,2,1，共五种情况
【小试牛刀】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球?
【解析】设摸出标有数字2，3和5的球分别为x,y，z个，于是有
x+y+z=12 ①
2x+3y+5z=43 ②
5×①-②，得 3z+2y=17 ③
由于x，y都是正整数，因此在③中，y取1时．x取最大值5。
【例8】★★★ 小刚说：“从我家门牌号中抽取两个数字，共可组成6个不同的两位数，这些数的和的一半刚好是我家的门牌号”，问小刚家门牌号多少?
【解析】设小刚家门牌号为（即100x+10y+z）
则10x+y+10x+z+10y+x+10y+z+10z+x+10z+y=2(100x+10y+z）
化简得y+10z=89x，因为x、y、z均为一位整数，所以x=1，y=9，z=8. =198.
【例9】★★ 袋中有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们数字和为
43。问小明最多摸出几个标有数字2的球？
【解析】设数字2摸出x个，数字3摸出y个，数字5摸出（12-x-y）个
2x+3y+5（12-x-y）=43，化简得3x+2y=17，要使x最多，所以x=5
【小试牛刀】某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？
【解析】设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：，即，化简得．这个方程有四组解：，，和，
但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足．
所以，这个活动共有人或人参加．

【例10】★★★甲说：“我和乙、丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的，丙的钱不变，我们三人仍有钱100元。”丙说：“我的钱连30元都不到。”问三人原来各有多少钱？
解：设甲有x元，乙有y元，丙有z元
，且070，
因为y为15的倍数，所以y=75，x=10符合题意. 此时z=15.
【小试牛刀】（百鸡问题）公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，
买鸡100只，问可买公鸡，母鸡，小鸡各几只？
【解析】设公鸡x只，母鸡y只，
，化简得7x+4y=100，x为4的倍数，
所以x=0，4，8，12时，y=25，18，11，4.
，，，，共四种情况.
【例11】★★★（选讲）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生
的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已
知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。(其中：)
【解析】设每人的捐款数是x元。
11+m=9+n,所以n=m+2
且 （11+m）x=mn+9m+11n+145
所以
因为x是整数,m为正整数，所以m+1123或46，
所以 x=25或47。

1. 求不定方程的正整数解。
【解析】，1+y是5的倍数，y=4或9，
，
2. 求方程组的正整数解。
【解析】方程②×7－方程①，得2x-3z=3，2x=3（z+1），因为x、y、z为正整数，所以x=3

3．将一个两位数的个位与十位数字调换位置，得到的新数比原数的2倍少1，这个两位数是多少？
【解析】设两位数为10x+y，则10y+x=2（10x+y）-1
化简得：19x-1=8y，x为奇数，所以x=1时，y无解；x=3时，y=7；x=5时，y无解；
所以这个数是37.
4．100元钱买4元，8元，10元的笔记本共15本，问三种笔记本各多少本?
【解析】各买x、y、本
4x+8y+10（15-x-y）=100，化简得：3x+y=25
解得，，
5.某地水费，不超过10度时，每度0.45元，超过10度时，超出部分按每度0.80元，张
家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元？
【解析】设张家用了x度，李家用了y度。
因为3.3 ÷0.45和3.3÷0.8均不为整数，所以x>10,y<10
10×0.45+0.8(x-10)-0.45y=3.3
解得：x=13,y=8
李家：8×0.45=3.6元，李家：3.6+3.3=6.9元。