中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型.doc

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型
一、教学目标：
1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．
2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．
3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．
二、教学重难点：
1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．
2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．
三、教学过程：
1.复习旧知
师：如图，△ABD，△BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论？
生：（1）△ABE≌△DBC （2）△ABG≌△DBF
（3）△CFB≌△EGB （4）△BFG为等边三角形
（5）△AGB∽△DGH （6）∠DHA＝60°（7）H，G，F，B四点共圆 （8）BH平分∠AHC ……
师：我们再来重点研究△ABE与△DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？
生：它们有同一个字母B，即同一个顶点B．
师：我们也可以把△DBC看作由△ABE经过怎样的图形运动得到？
生：绕点B顺时针旋转60°得到．

2.引入新课
师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？
生：对应边相等．
师：我们可以称之为“等线段”．
生：有同一个顶点．
师：我们可以称之为“共顶点”．
师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？
生：旋转．
师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．
3.小题热身

图3

图2

图1

1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C， 则AF＝____BE．
2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．
3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°， BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．
师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．
生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．
题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．
师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？
生：没有．
师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？
生：等线段是AD，AB，共顶点是A．
师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？
生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．
师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？
生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形， AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．
师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？
生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条 “共顶点”的线段，将其旋转．
师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？
生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．
师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？
步骤1：先找有没有“等线段，共顶点．
步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过 “共顶点”的线段旋转．
步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．
师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？
生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．

4.例题精讲
例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．
师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？
要构造全等，该怎样旋转？
生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．
师：你是怎么想的，还有其他做法吗？
生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段
是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．
【解答】
将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°

例2：
如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形， ÐAOB＝ÐCOD＝90°．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．
师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？
生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．

【解答】
如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．

5.自主练习
1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 _________．
师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．
生：“等线段”是CA和BA，“共顶点”是A．方法是将AD绕点A顺时针旋转90°．
2．如图，在△ABC中，BC＝2，AB＝，以AC为边，向外做正方形ACDE，连接BE，则BE最大值为_________．
师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．
生：“等线段”是CA和EA，“共顶点”是A．
方法是将AB绕点A逆时针旋转90°．
师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？
生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以AB也绕点A逆时针旋转90°．
3．如图，点A在⊙B上，AB＝1，BC＝2，△ACD是等边三角形，求△BCD面积的最大值．
师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．
生：“等线段”是CA和CD，“共顶点”是C．
方法是将CA绕点C逆时针旋转60°．

附：自主练习解答
1． 如图，将AD绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△EAC≌△DAB，可得CE＝BD，又∵∠EDA＝45°，∴∠CDE＝90°，CD＝3，DE＝4，则Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝32 ＋ (4)2＝41
∴CE＝，∴DB＝

2.如图，将AB绕点A逆时针旋转90°至AF，易证△EAF≌△CAB，可得EF＝BC＝2．Rt△BAF中，AF＝AB＝，∴BF＝2．由三角形三边关系易知，BE≤EF＋BF，∴BE最小值为4.

3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED， 则DE＝1，EF＝，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．
当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋， S△BCDmax＝×2×（1＋）＝1＋