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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

答案：RAB = R 。
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω ，R2 = 4Ω ，R3 = 3Ω ，R4 = 12Ω ，R5 = 10Ω ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，CD两点的电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足=的关系，该桥式电路平衡。
答案：RAB = Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A、B两点之间的等效电阻RAB 。

A

B

D

C

【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。

2、电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。
A
B
【例题1】7根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。

【例题2】10根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。

C
D
A
B
【例题3】8根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，C、D之间是两根电阻丝并联而成，试求出A、B两点之间的等效电阻。

电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。
B
A

3、Y—△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y型网络变换到△型电路中的变换式：

⑵将△型电路变换到Y型电路的变换式

以上两套公式的记忆方法：
△→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。
Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。
当Y形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB 。
提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律

【例题2】试求如图所示电路中的电流I。（分别应用两种变换方式计算）

【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电阻。( 答案：0.5R; RPQ=4Ω)

4、无限网络
若 （a＞0）
在求x值时，注意到x是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A、B两点间的电阻RAB 。

解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
RAB∥R + R = RAB
解这个方程就得出了RAB的值。
答案：RAB = R 。
解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示
对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有
(I − I1)R + (I − I1)R − I1R = 0
解得 I1 = I
很显然 UA − IR − I1R = UB
即 UAB = IR + IR = IR
最后，RAB = = R 。
【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（开端形）

【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（闭端形）

⑵双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。（中间缺口形）

【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）

【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。（完整形）

小结：一维无限网络利用网络的重复性。
⑶二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻RAB．
模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4，方向也是由A指向B．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R电阻上的电流为I/2．所以A、B两节点间的电势差为：

【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB 。

【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为，求：
（1）结点a、b间的电阻。
（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。

解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。
将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知
（由a流向c）
（由c流向b）
因此，a、b两点间等效电阻

（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

应该有
因为b、d两点关于a点对称，所以

同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

最后，根据电流的叠加原理可知

⑷三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为r，求相邻两个Na和Cl原子间的电阻。

【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。
当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。
【答案】RAB = R