高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

一、选择题
1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A．－4　　 　 B．4　　　　
C．－2　 　　 D．2
[答案]　A
[解析]　a在b方向上的投影为
＝＝－4.
(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　B
[解析]　由条件知，＝2，＝1，a·b＝4，
∴|a|＝4，|b|＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴〈a，b〉＝.
2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于(　　)
A．－ B.
C．－2 D．2
[答案]　C
[解析]　由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.
(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是(　　)
A．t＋k＝1 B．t－k＝1
C．t·k＝1 D．t－k＝0
[答案]　D
[解析]　m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.
3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
[答案]　D
[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.
(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)

A．2 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵＝＋＝＋，
∴·＝(＋)·＝·＋·，
又∵AB⊥AD，∴·＝0，
∴·＝·＝||·||·cos∠ADB
＝||·cos∠ADB＝·||＝.
4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案]　B
[解析]　∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，
∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，
∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.
5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足＝2t＋t，则＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　∵＝2t(－)＋t，
∴＝＋，
∵P在直线AB上，∴＋＝1，∴t＝1，
∴＝＋，
∴＝－＝－，
＝－＝－＝－2，
∴＝.
6．(文)平面上的向量、满足||2＋||2＝4，且·＝0，若向量＝＋，则||的最大值是(　　)
A. B．1
C．2 D.
[答案]　D
[解析]　∵·＝0，∴⊥，又∵||2＋||2＝4，
∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，
＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，

∵＝＋＝，
∴||2＝2＋y2＝－x，
∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，||2取得最大值为，
∴||的最大值是.
(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为(　　)
A．8 B．6
C．5 D．4
[答案]　B
[解析]　建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，
∴A(0,0)，N(2，－1)，＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，＝(x，y)由坐标系可知

∵·＝2x－y，设2x－y＝z，
易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，
∴·的最大值为6，故选B.
7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于(　　)

A. B.
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB.所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.
8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝求解”．
由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝＝＝，所以α＝.
(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，·∈，其面积S＝，则与夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　设〈，〉＝α，∵·＝||·||cosα，S＝||·||·sin(π－α)＝·||·sinα＝，∴||·||＝，
∴·＝＝cotα，
由条件知≤cotα≤，∴1≤cotα≤，
∵·>0，∴α为锐角，∴≤α≤.
9．(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么·等于(　　)
A. B．0
C．－3 D．－
[答案]　B
[解析]　由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，
由消去y得，x2－4kx－16＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，
∴·＝x1x2＋y1y2＝0.
(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是(　　)

A．－ B．－
C．－ D．不确定
[答案]　B
[解析]　∵＝2，∴＝，
∴||＝||＝，
·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝－1＝－.

10．(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足，则·取得最小值时，点B的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无数个
[答案]　B
[解析]　∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即(x－1)2＋(y－1)2＝1.
∴可行域为图中阴影部分，

∵·＝||·||·cos〈，〉，又||为定值，∴当·cos〈，〉取最小值时，·取最小值，∵y＝cosx在上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，||最小，从而·取最小值，故选B.
[点评]　可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令·＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当·取得最小值时，点B的个数为2.

二、填空题

11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝______.

[答案]　5
[解析]　设AC与BD相交于点O，则
(＋)·(＋)
＝[(－)＋(－)]·(＋)
＝[(－)＋(－)]·(＋)
＝(＋)(＋)＝||2－||2＝5.
12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．
[答案]　12
[解析]　＝＋，＝＋，
由条件知，||2＝49，||2＝25，||＝||，
∴|＋|2＝|＋|2，
即|2＋||2＋2·＝||2＋||2＋2·，∴·(－)＝－12，
∴·(－)＝12.
(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ(＋)，则λ＝时，·(＋)的值为______．
[答案]　0
[解析]　由已知得－＝λ(＋)，
即＝λ(＋)，
当λ＝时，得＝(＋)，
∴2＝＋，即－＝－，
∴＝，∴＋＝＋＝0，
∴·(＋)＝·0＝0，故填0.
13．(2010·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则·＝________.
[答案]　－20
[解析]　由条件知A1(－5,0)，A2(5,0)，F(－3,0)，设P(－3，y0)，则＝(10,0)，＝(－2，－y0)，
∴·＝－20.

14．(2010·福建厦门质检)已知向量an＝(cos，sin)(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为________．
[答案]　284
[解析]　∵|b|＝1，∴设b＝(cosθ，sinθ)，
∵an2＝cos2＋sin2＝1(n∈N)，
an·b＝coscosθ＋sinsinθ，
∴y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋…＋|a141＋b|2
＝(|a12＋|a2|2＋…＋|a141|2)＋141|b|2＋2(a1·b＋a2·b＋…＋an·b)
＝282＋2cosθcos＋cos＋…＋cos＋2sinθ
＝282＋2cosθcos＋2sinθsin
＝282＋2cos≤284.
三、解答题
15．(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．
[解析]　(1)因为f(x)＝sin2x－－
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.
(2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，
则sin(2C－)＝1，
∵0积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．
[解析]　(1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
又∵·＝50，AB＝13，
∴cos∠BAC＝＝，
∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝，
∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝.

(2)S△BAD＝AB·ADsin∠BAD＝，
S△BAC＝AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，
则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝，
∴＝.
(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.

[分析]　要证明AD⊥BC，则只需要证明·＝0，可设＝m，＝c，＝b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．
证明：设＝c，＝b，＝m，
则＝－＝m－c，＝－＝m－b.
∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，
∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即
c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，
∴m·(c－b)＝0，即·(－)＝0，
∴·＝0，∴AD⊥BC.
17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解析]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0得，
(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－.
(理)(安徽巢湖质检)已知A(－，0)，B(，0)，动点P满足||＋||＝4.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，
求·的取值范围．
[解析]　(1)动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1；
(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1，)，N(1，－)，·＝；
②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得
(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2
＝＝－<.
又当k＝0时，·取最小值－4，
∴－4≤·<.
根据①、②得·的取值范围为[－4，]．
解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)，·＝－4.
当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得
(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则
y1＋y2＝，y1y2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1
＝＝－4＋∈(－4，]．
∴－4≤·≤.
∴·的取值范围为[－4，]．

含详解答案