初中数学概念汇总.doc

第一章 实数
1．1实数的有关概念及实数的分类
知识要点
一、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。　数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系。
二、
三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数。
四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于1；零没有倒数。
五、偶数一般用（为整数）来表示，奇数一般用来表示。
六、有理数都可以表示为（，为整数且，互质）的形式；任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。
七、绝对值

八、非负数　像，，形式的数都表示非负数。
非负数性质　①最小的非负数是0；②若几个非负数的和是0，则每个非负数都是0。
九、近似数与有效数字　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字。
十．科学记数法　把一个数记成的形式叫做科学记数法，其中，为整数。
1．2实数的运算与实数的大小比较
知识要点
一、实数运算　在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，但是，除数不能为0，开偶次方时被开方数为非负数。其中加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算，同级运算从左到右依次进行；无括号的不同级运算先算高级运算；有括号时，先算小括号，再算中括号的，后算大括号的。
二、实数的大小比较　三种比较方法：数轴比较法，将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示同一点则相等。差值比较法，设，是任意两实数，则；；。商值比较法，设，是任意两正实数，则；；。

第三章　不等式（组）
知识要点
一、不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、不等式（组）的解法
（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集。
三、设，那么：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是空集。

第二章　代数式
2．1整式（知识要点）
一、代数式的分类

二、同类项：所含的字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，合并同类项时，系数相加， 字母和字母的指数不变。
三、整式的运算
（1）整式的加减　先去括号或添括号，再合并同类项。
（2）整式的乘除　幂的运算性质①（，为整数，）；②（，为整数③（为整数且）；④（，为整数，）。
乘法公式（1）平方差：。（2）完全平方公式：。（3）立方和（差）：
四、代数式的值　用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
2．2因式分解（知识要点）
一、因式分解　把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
二、因式分解的基本方法　（1）提取公因式法。（2）公式法。（3）分组分解法。
三、因式分解的其它方法　（1）配方法。（2）求根公式法。（3）换元法。
四、因式分解常用的公式如下
（1）；
（2）；
（3）。
2．3分式（知识要点）
一、分式　如果中含有字母，式子叫做分式，分式中字母取值必须使分母的值不为零。
二、分式的基本性质　
（为不等于0的整式）。
三、分式的运算
四、（1）加减法：，；
（2）乘除法：，；
（3）乘方： （为正整数）；
（4）符号法则：。
四、约分　根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
五、通分　根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分。
2．4二次根式（知识要点）
一、二次根式　式子叫做二次根式。
二、最简二次根式　
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
三、同类二次根式　几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
四、二次根式的主要性质
（1）
（2）
（3）
（4）
五、二次根式的运算
（1）因式的外移和内移，如果被开方数中有的因式能开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。（2）有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式；把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（3）二次根式的加减法　先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。（4）二次根式的乘除法　二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。（5）有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

第四章　方程（组）
4．1整式方程（知识要点）
一、等式和方程的有关概念，等式的基本性质。
二、一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1；
（2）方程的解有以下三种情况：①当时，方程有且仅有一个解；②当时，方程无解；③当时，方程有无穷多个解。
三、一元二次方程的一般形式：，其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法。
四、一元二次方程的求根公式是
。
注意：求根公式成立的条件为（1），（2）。
4．2分式方程（知识要点）
一、分式方程的概念。
二、解分式方程的基本思想是： 分式方程整式方程
三、解分式方程产生增根的原因，验根的方法。
4．3方程组（知识要点）
一、解二元（或三元）一次方程组的基本思路是消元，变二元（或三元）为一元（或二元），常用的方法是加减消元、代入消元法。
二、解二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”，基本要求有以下两类：（1）方程组中有一个方程是一次方程的（第一型的二元二次方程组），一般用代入法求解；（2）方程组中有一个方程可以分解成两个一次方程的（第二型的二元二次方程组），可将原方程组化为两个简单的方程组。
4．4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（知识要点）
一、一元二次方程的根的判别式是。当时，方程有两个不相等的实数根，；时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程没有实数根，反之成立。
二、若一元二次方程的两根为，那么
三、以两数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。
四、注意：根与系数的关系成立的两个条件：（1）（2）。
五、根的定义：若是的两根，则，；反之，若，且，则是方程的两个根。
命题热点：本节知识是重点内容主要题型有：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）求方程中字母系数的取值范围；（3）确定抛物线与轴的交点情况；（4）验根、求根与确定根的符号；（5）求关于一元二次方程两根的代数式的值；（6）求作新方程；（7）解特殊方程和方程组；（8）确定字母系数之间的关系。另外本节知识与其它代数知识、几何知识的结合点与是各地中考的考查对象。在填空、选择、计算、证明、阅读理解等题型中，随处可见本节知识的身影。
4．5列方程（组）解应用题（1） （知识要点）
一、列方程（组）解应用题步骤：审、找、设、列、解、验、答。
二、行程问题等量关系：（1）；（2）相向而行的相遇问题：，相遇前运动的时间相等或差＝提前时间；（3）同向追及问题：同时不同地则快车与慢车行程之差＝原相距距离；同地不同时则慢车与快车时间之差＝慢车多用时间；（4）水流问题：顺速＝静速＋水速；逆速＝静速－水速。
三、增长率等量关系：（1）增长率＝增量÷基础量，（2）为原来的量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则。为下降率时，。
4．6列方程解应用题（2） （知识要点）
一、工程问题等量关系：；甲乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率。注：（1）工作总量常看作“1”；（2）踟问题有时可当作工程问题解。
二、浓度问题等量关系：溶质质量＝溶液质量×浓度，溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量。
4．7列方程（组）解应用题（3） （知识要点）
一、利率等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数。
二、利润等量关系：毛利润＝售出价－进货价，利润＝售出价－进货价－其它费用。
三、注意关键词的意义：盈、亏、涨、收益、赚、年利、月利、折扣等的确切意义要理解准确。
第五章　函数及其图象
5．1平面直角坐标系与函数的概念（知识要点）
一、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征
坐标轴上点的坐标的特征：轴上的点，其纵坐标为0；轴上的点，其横坐标为0；原点的坐标为。
二、各象限点的坐标的符号特征
第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：。
三、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于轴的直线上任意两点的横坐标相同。
四、象限角平分线上的点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。
五、对称点的坐标特征
坐标系中关于轴的对称点坐标为，即横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴的对称点坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点的对称点坐标为，即横、纵坐标都分别互为相反数。
六、对函数概念的理解
七、函数自变量的取值范围
（1）整式函数，其自变量的取值范围是全体实数；（2）分式函数，其自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）偶次根式表示的函数，其自变量的取值范围是使被开方数为非负实数；（4）对实际问题，其自变量的取值范围是必须使实际问题有意义。
5．2正比例函数与反比例函数的图象和性质（知识要点）
一、正比例函数定义　形如的函数叫做正比例函数，自变量的取值范围是：全体实数。
二、正比例函数的图象是经过原点的一条直线。
三、正比例函数的性质：（1）时，随的增大而增大，图象是经过第一、三象限的一条直线；（2）时，随的增大而减小，图象是经过第二、四象限的一条直线。
四、反比例函数定义　形如的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是：。
五、反比例函数的图象是双曲线。
六、反比例函数的性质：（1）时，图象两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；（2）时，图象两分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大。
5．3一次函数的图象和性质（知识要点）
一、 定义：形如的函数叫做一次函数； 正比例函数是一次函数的特例。
二|一次函数的图象是一条经过点及点的一条直线。
四、一次函数图象性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。

命题热点
由于二次函数要求降低，一次函数就显得相当受宠，在中考中，一次函数的概念，字母系数的条件，一次函数的解析式与图象，实际问题中一次函数自变量的取值范围及图象，一次函数应用题，一次函数的性质等都是考查的重点内容，也是热点，题型有填空、选择、解答题与综合应用，层出不穷，花样年年翻新，特别是与几何知识的综合应用，精题、巧题令人目不暇接，一次函数应用题则更是高潮迭起，让人拍案叫绝。
5．4二次函数的图象性质（知识要点）
一、 定义：如　，那么叫做的二次函数。
二、二次函数的图象　二次函数的图象是一条抛物线。
三、二次函数的图象的性质
（1）抛物线的顶点是，对称轴是直线。
（2）当时，抛物线开口向上；时，开口向下。
（3）当，时，有最小值；当，时，有最大值。

5．5二次函数的解析式（知识要点）
一、一般式　，若已知抛物线上三点的坐标，把三点坐标值分别代入一般式，得到关于的三元一次方程组，求也的值，得二次函数的解析式。
二、顶点式　，若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点坐标，将这一点坐标代入上式，求出，即可写出二次函数的解析式。
三、交点式　，若已知抛物线与轴两个交点的坐标和抛物线上另一点坐标，将这一点坐标代入上式求出，即得二次函数的解析式。
第六章　统计初步
6．1中位数、众数与平均数（知识要点）
一、总体与样本与样本容量
（1）总体　指考查对象的全体。（2）样本　指从总体中抽取的一部分个体。（3）样本容量　指样本中个体的数目。
二、平均数
（1）平均数　如果有个数，那么叫做这个数的平均数。
（2）求平均数的常用方法
设所给出的几个数据，求它们的平均数。
①基本方法：。
②新数据法　当数据较大时，选择一个与这些数比较接近的数，令，先计算这组新数据的平均数，则。
③加权法　若出现次，出现次，…，出现次，且则
。
④新数据加权法　新数据同②，若出现次，出现次，…，出现次，且则
。
三、中位数、众数
（1）中位数　将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（2）众数　在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
6．2方差和频率分布
知识要点
一、方差、标准差
（1）方差　样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差。
（2）标准差　样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
（3）求方差的方法
①设个数据的平均数为，则其方差
　或
。
②当数据比较大时，仿前面选择一个适当的常数，得一组新数据
则方差

（4）样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动就越大。
二、频率分布　频率分布反映的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小，要得到一个样本的频率分布情况，步骤如下：
（1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与级数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘频率分布直方图。
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