函数考点二基本初等函数知识点复习+高考题汇编(高三复习).doc

基本初等函数
一、一次函数
一次
函数

，
符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而减小
二、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最值有关时，用顶点式．
③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求．

（3）二次函数图象的性质

图像

定义域

对称轴

顶点坐标

值域

单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是
②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

一、指数与指数幂的运算
（一）根式的概念
1、如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时， 的 次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
2、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当 为偶数时，．
3、根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．
（二）分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
2、正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
3、a0=1 (a ¹0) a-p = 1/ap (a¹0；pÎN*)
4、指数幂的运算性质

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义；
注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．

三、指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
定义
0
1
函数且叫做指数函数
图象

0
1

定义域

值域
（0,+∞）
过定点
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
y＞1(x＞0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＞0)
变化对
图象影响
在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内越大图象越低，越靠近x轴．
在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当
（3）对于指数函数，总有
（4）当时，若，则
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法（1）比差（商）法：
（2）函数单调性法；
（3）中间值法要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=34,y2=35
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=（1/2）4,y2=34,
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较
　①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.

对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明：① 注意底数的限制，且；
②；
③注意对数的书写格式．
两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数；
② 自然对数：以无理数为底的对数的对数．
指数式与对数式的互化
幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
① ·＋； －；
． ④
⑤ ⑥
⑦ loga1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b=b
注意：换底公式
（，且；，且；）．
推论(利用换底公式)
①； ②．
二、对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
② 对数函数对底数的限制：，且．
三、对数函数的图像和性质：
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
在第一象限内，越大，图象越靠近x轴
在第四象限内，越大，图象越靠近y轴
在第一象限内，越小，图象越靠近x轴
在第四象限内，越小，图象越靠近y轴
四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

反函数
一、反函数定义
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
二、反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
三、反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
二、幂函数的图象

三、幂函数的性质
1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；
②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2、过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
3、单调性：①如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．
②如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
4、奇偶性：⑴当为奇数时，幂函数为奇函数，
⑵当为偶数时，幂函数为偶函数．
⑶当（其中互质，和），
①若为奇数为奇数时，则是奇函数，
②若为奇数为偶数时，则是偶函数，
③若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
5、图象特征：幂函数，
⑴当时，①若，其图象在直线下方，
②若，其图象在直线上方，
⑵当时，①若，其图象在直线上方，
②若，其图象在直线下方．

习题
一、选择题
． （　　）
A． B． C． D．
． (函数)下列函数中,在区间上为增函数的是 （　　）
A． B． C． D．
．设函数集合 则为 （　　）
A． B．(0,1) C．(-1,1) D．
．）下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为
A． B． C． D．
．函数的图象可能是

．函数的定义域为 （　　）
A． B． C． D．
． (函数)下列函数为偶函数的是 （　　）
A． B． C． D．
．设集合,集合是函数的定义域;则 （　　）
A． B． C． D．
．函数的图象可能是

．下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为 （　　）
A．y= B．y= C．y=xex D．

二、填空题
．方程的解是_________.
．设函数发,则=_____
．已知,.若或,则的取值范围是________.
．已知函数,若,则_________.
．函数的定义域为____.

基本初等函数综合复习
题型一　幂函数的定义及应用
例1.已知y＝(m2＋2m－2)·＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值．
探究提高　(1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.
(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．
已知f(x)＝(m2＋2m)，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
2.由幂函数的图像过点,则这个幂函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
题型二　指数式与根式,对数式的化简,求值问题
例2.已知函数，则（　 ）
A． B． C． D．
变式训练:1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】求值：         .
2.已知函数，则 .

题型三 基本初等函数的单调性问题
例3.已知函数，（且）是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练1.已知函数且则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（　　）
A． B． C． D．
3.函数的定义域为，对定义域中任意的，都有，且当时，，那么当时，的递减区间是（ ）
A． B． C． D．
题型四 基本初等函数的奇偶性与周期性问题
例4已知函数满足对恒成立，则( )
A. 函数一定是偶函数 B.函数一定是偶函数
C. 函数一定是奇函数 D.函数一定是奇函数
变式训练1.给出下列函数①②③④，其中是奇函数的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
2.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为 （ ）

3.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，）

题型五 函数的零点问题
例5.函数f（x）＝的零点个数为（ ）
A .0 B.1 C.2 D.3
变式训练1.定义在上的偶函数，满足，，则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．至少个
2.在下列区间中函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
题型六 函数的图象问题
例6函数的图象是 （ ）

变式训练1.函数的图像如图所示，若函数与轴有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

2.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（ ）
A、3　　　　　　　　 B、2 C、1
3.已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

题型七 基本初等函数的函数值大小比较问题
例7.下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
变式训练1.设，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2.设，则这四个数的大小关系是

题型八 基本初等函数的定义域,值域,取值范围问题
例8设函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
变式训练1.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2.已知函数，则满足的的取值范围是______．
已知函数的图象经过点A(1,1)，则不等式的解集为______.
3.函数的定义域为____.
4.函数的定义域为 。
5.已知映射，其中，，对应法则是，对于实数，在集合中不存在原象，则的取值范围是 .