苏科版八年级数学上册《第三章勾股定理》单元测试含答案.doc

第三章勾股定理单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）

A.3 B.2+2 C.10 D.4
2.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2 ， 则S1+S2的值为（　　）

A.16 B.17 C.18 D.19
3.如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（　　）

A.（32+8）cm B.10cm C.82cm D.无法确定
4.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（　　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
5.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（　　）
A.5 B.7 C.4 D.5或7
6.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（　　）

A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米
7.一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（   ）
A、4 B、 C、4或 D、2
8.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（   ）
A.100cm B.50cm C.140cm D.80cm
9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（   ）
A、3cm2 B、4cm2 C、5cm2 D、6cm2
10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2 ， 则S1+S2等于________．
二、填空题（共8题；共24分）
11.若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________ 
12.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________
13.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2 ， 则x的长为________厘米．
14.一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为．
15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________．
16.已知在三角形ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB的长等于________．
17.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是10，B的面积是11，C的面积是13，则D的面积之为________．
18.如图，Rt△ABC中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形．S1 ， S2 ， S3分别为三个正方形的面积，若S1=36，S2=64，则S3=________．
三、解答题（共5题；共35分）
19.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，
（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；
（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

20.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，
（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；
（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

21.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）
22.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D90°，∠A=60°，BC=2，CD=1，求AD的长．

23.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．

四、综合题（共1题；共10分）
24.一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？

答案解析
一、单选题
1、【答案】C
【考点】平面展开-最短路径问题
【解析】【解答解：如图，AB=． 故选C．

【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
2、【答案】B
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=BCAC=22 ， 即AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，
∴AC=2BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD=63=2，
∴EC2=22+22 即EC=22；
∴S1的面积为EC2=22×22=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．

【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=2BC，BC=CE=2CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=22；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
3、【答案】B
【考点】平面展开-最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，
①矩形的长和宽分别为6cm和8cm，
故矩形对角线长AB=62+82=10cm；
②矩形的长和宽分别为3cm和11，
故矩形对角线长AB=32+112=130cm．
即蚂蚁所行的最短路线长是10cm．
故选B．

【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
4、【答案】D
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC为梯子的长度，

可知△BAC为Rt△，
有AC=AB2+BC2=42+32=5（m）．
故选：D．
【分析】如下图所示，AB=4m，BC为梯子底端到建筑物的距离，有BC=3m，AC为梯子的长度，可知△ABC为Rt△，利用勾股定理即可得出AC的长度．
5、【答案】D
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵a2-6a+9+|b﹣4|=0，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
∴a=3，b=4，
∴直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7 ，
∴直角三角形的第三边长为5或7 ，

故选D．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
6、【答案】C
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4，
则A′C=2.4﹣0.4=2，
在直角三角形A′B′C中，根据勾股定理求得B′C=1.5，所以B′B=1.5﹣0.7=0.8，
故选C．
【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出AC和B′C，求二者之差即可解答．
7、【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4； ②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是  = ．
故选C．
【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．
8、【答案】A
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm， ∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得 602+802  =100，
∴其距离为100cm．
故选A．
【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．
9、【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得： =5（cm）， ∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
10、【答案】2π
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：S1= π（ ）2= πAC2 ， S2= πBC2 ， 所以S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
故答案为：2π．
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
二、填空题
11、【答案】和3
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是=；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为：和3．
【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．
12、【答案】12米
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= 4.52+62 =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．
故答案是：12米．

【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是4.5米和6米．利用勾股定理解题即可．
13、【答案】17
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为64厘米2 ， ∴正方形的边长为8厘米，
x= 152+82 =17（厘米），
故答案为：17．
【分析】首先计算出正方形的边长，再利用勾股定理计算出x即可．
14、【答案】5+
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可知：斜边= = ， ∴三角形周长=3+2+ =5+ ．
故答案是：5+ ．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长．
15、【答案】12
【考点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG•DG
=GF2+2CG•DG，
S2=GF2 ，
S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF•NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12，
故答案是：12．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2 ， S2=GF2 ， S3=（KF﹣NF）2 ， S1+S2+S3=12得出3GF2=12．
16、【答案】25
【考点】勾股定理
解析】【解答】解：如图，∵△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20， ∴AB= = =25．
故答案为：25．

【分析】根据题意画出图形，再由勾股定理求解即可．
17、【答案】30
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M． 根据勾股定理得到：C与D的面积的和是P的面积；A与B的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82=64，
∴A、B、C、D的面积之和为64，是正方形D的面积为x
∴10+11+13+x=64，
∴x=30
故答案为：30．

【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．
18、【答案】100
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 又由正方形面积公式得S1=AC2 ， S2=BC2 ， S3=AB2 ，
∴S3=S1+S2=100．
故答案为：100．
【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2 ， S2=BC2 S3=AB2 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2 ， 即S1+S2=S3 ， 由此可求S3 ．
三、解答题
19、【答案】
解：（1）如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，
∴AD=12cm，
∴AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）．
答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm；
（2）∵AD=12cm，
∴蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，
∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．

【考点】平面展开-最短路径问题
【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．
20、【答案】解：（1）如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，
∴AD=12cm，
∴AB= AD2+BD2=122+122=122（cm）．
答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm；
（2）∵AD=12cm，
∴蚂蚁所走的路程= 122+12+42=20，
∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．

【考点】平面展开-最短路径问题
【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．
21、【答案】解：∵CD⊥AC， ∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2 ，
2CD2=8002 ，
CD=400 （米），
答：直线L上距离D点400 米的C处开挖
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2 ， 然后再代入BD=800米进行计算即可．
22、【答案】解：分别延长AD、DC交于点E， 在Rt△ABE中，∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△CBE中，∵∠E=30°，BC=2，
∴EC=4，
∴DE=4+1=5，
在Rt△ABE中，∠E=30°，
AE=2AD，
AE2=AD2+DE2 ，
4AD2=AD2+52 ，
解得：AD= ．

【考点】勾股定理
【解析】【分析】延长AD，DC交于点E，可得直角三角形ABE，易得CE长，在Rt△CBE中，利用30°的三角函数可得EC，DE的长，进而利用勾股定理可得AD长．
23、【答案】解设BD=x，则AD=2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2=CD2 ，
在Rt△BCD中，BC2﹣BD2=CD2 ，
∴AC2﹣AD2=BC2﹣BD2 ， 即62﹣（2x）2=42﹣x2 ，
解得，x= ，
则BD= ．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】设BD=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
四、综合题
24、【答案】（1）解：由题意，得AB2=AC2+BC2 ， 得 AC= = =24（米）
（2）解：由A′B′2=A′C2+CB′2 ， 得 B′C= = = =15（米）．
∴BB′=B′C﹣BC=15﹣7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】应用勾股定理求出AC的高度，以及B′C的距离即可解答．