初中数学专题训练二次根式最简二次根式.doc

初中数学
典型例题一

例01．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
分析 因

解答 A
说明 最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式.

典型例题二

例02．在二次根式中，，，，，最简二次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析 因为，，都不是最简二次根式，所以最简二次根式有2个.
解答 B
说明 最简二次根被开方数中因数次数只能小于2，且不能含有分母.
典型例题三

例03．在根式，，，，，，，，中，最简二次根式的个数为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
分析 的被开方数是分式，的被开方数中含有分数因数，=，，它们和中都含有能开得尽方的因数或因式，所以这几个二次根式都不是最简二次根式.
解答 C
说明 考查最简二次根式的意义.
只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.

典型例题四

例04．化简
分析 原式=

因，，
故原式=
解答
说明 化简时把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.

典型例题五

例05．（1）化简：
（2）.
分析 （1）因，则，
故
（2）因，，
故
解答 ；
说明 在（1）中隐含，即的条件；在（2）中隐含，即.
典型例题六

例06．化简
解答 ∵，∴ ，.
∴

说明 本题中与的大小关系，是以隐含的形式给出的.
被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.

典型例题七

例07．化简：
解答1：∵，∴，
原式=
解答2：∵，∴，
原式=
说明 可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内.

典型例题八

例08．把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）； （2）；
（3） （4）
解答 （1）原式=
（2）原式==
（3）原式=
（4）原式==
说明 考查二次根式的化简
（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便.
典型例题九

例09．化简下列根式：
（1）； （2）； （3）

解答 （1）由被开方式知
∴原式=
（2）由根式有意义知 即
∴原式=
（3）∵，又知
∴原式==
说明 考查根式的化简方法.
化简根式时，常要将某些代数式移出或移入根号，但一定要注意字母的取值范围，必须保证移出或移入前后根式中符号（正负）性质不变.

典型例题十

例10．当时，求的值.
分析 因为，分母有理化后，有.
又，
把代入，得
原式=.
说明 一般而言，对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算，而是必须先化简再注值. 本题多项式已经化简了，故就应把代入，但考虑到x的值是个无理数，又是分母上有根号，就应把它分母有理化以后再代入，也就是说把代入代数式就显得比较简单. 同时，尽管多项式已经很简了，如果我们稍作变换，能使代入运算更加方便，也就是的式化为，运算更简.
如果把字母的取值不分青红皂白代入原式，就可能运算很繁，导致错误. 第一要把字母的取值化简，第二要把代数式化简再根据代数式的特点，适当作一点变换，就能简捷地求出代数式的值.
典型例题十一

例11．已知，化简：
（1）； （3）
解答 ∵，即
∴且
即，
∴（1）
（2）
说明 注意到所求的根式的被开方数是一个完全平方数，开方之后得到绝对值，显然需要a，b的范围. 这一点可由已知条件利用被开方数非负得到.
分析问题往往从结论入手，才想到如何更好地利用已知. 本例容易陷入误区情形有：①想求a，b的具体值；②想不到隐含条件；③不注意变形条件为；④看不到被开方数是完全平方数.

选择题

1．选择题
（1）把化为最简二次根式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）下列各式中不是最简二次根式的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）二次根式，，，，，，中最简二次根式的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（5）下列二次式中最简二次根式是 ）
（A） （B） （C） （D）
（6）化简得最简二次根式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．选择题
（1）若且，则成立的条件是
（A） （B）
（C） （D）
（2）当时，下列等式中成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列化简中正确的是
（A） （B）
（C）
（D）
（4）下列化简中错误的是
（A） （B）
（C） （D）（）
（5）若，把化成最简二次根式为
（A） （B）
（C） （D）
3．选择题
（1）已知，则化简得（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）化简下列各式，出现错误的是（ ）
（A）（）
（B）（）
（C）
（D）（）
（3）若，二次根式的值为，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）

参考答案：
1．（1）C （2）B （3）C （4）B （5）C （6）A
2．（1）C （2）C （3）D （4）B （5）C
3．（1）B （2）D （3）B

填空题

1．填空题
（1）化简：______，________.
（2）化简：_________.
（3）把化成最简分式得_____
（4）二次根式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中最简二次根式为_________.

参考答案：（1）， （2） （3） （4）②⑤⑧
解答题

1．化最简二次根式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2．化简
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
3．求代数式的值
（1）； （2）
4．已知，求的值.（精确到）

参考答案：
1．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
2．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
3．（1） （2）
4．[提示：原式化为]

解答题

1．设直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为.
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知，求；
（4）已知，求
2．化简
（1）（） （2）（）
3．求值：已知
（1）当时，求；
（2）时，求.（精确到）

参考答案：
1．（1）10 （2）10 （3） （4）
2．（1） （2）
3．（1） （2）

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