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函数综合题重点题型归纳
1、已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点M（）处的切线方程；
（Ⅱ）设a>0. 如果过点（a, b）时作曲线y=f（x）的三条切线，证明：

2、设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

3、已知函数，．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

4、设函数.
(Ⅰ)求的单调期间； (Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.

5、设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明：

6、已知，其中是自然常数，
（1）讨论时, 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

7、已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为, 函数在区间上是单调的.
(1) 求的值和的取值范围; (2) 若, 证明:

8、设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在直角坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：

9、是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有.
(I)设 ，证明：
(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式。

函数综合题重点题型归纳【答案】
1、解：（Ⅰ）求函数的导数：
曲线处的切线方程为：即
（Ⅱ）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使
于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记 则
当t变化时，变化情况如下表：
t
（－∞，0）
0
（0，a）
a
（a，+∞）

+
0
－
0
+

↗
极大值a+b
↘
极小值b－
↗
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程即方程只有两个相异的实数根
综上，如果过可作曲线三条曲线，即有三个相异的实数根，则
即
2、解：（Ⅰ）的导数．由于，
故．（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则，
（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．

3、 解：（1）求导：
当时，，，在上递增当，求得两根为
即在递增，递减，递增
（2），且解得：

4、解：（Ⅰ）
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数． 6分
（Ⅱ）令，则
故当时，．又，所以当时，，即．
当时，令，则．故当时，
因此在上单调增加．故当时，，即
于是，当时，．
当时，有．因此，的取值范围是． 12分

5、解: （I）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得
⑴当时，在内为增函数；
⑵当时，在内为减函数；
⑶当时，在内为增函数；
（II）由（I），

设，则
⑴当时，在单调递增；
⑵当时，，在单调递减。
故．
6、解：（1）， ……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 …………3分
∴的极小值为 ……4分
（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴ ，
令，， …………6分
当时，，在上单调递增 ………7分
∴ ∴在（1）的条件下，
（3）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，，所以 ， 所以在上单调递减，
，（舍去），所以，此时无最小值. …10分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……11分
③ 当时，，所以，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3.……14分

7、 (本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1) 解:∵, ∴.
∵的一个极值点为, ∴.
∴ . ∴,
当时, ;当时, ;当时, ;
∴函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增.
∵方程的两个实根为, 即的两根为,
∴. ∴,.
∵ 函数在区间上是单调的, ∴区间只能是区间,,之一的子区间.
由于,故.
若,则,与矛盾.∴.
∴方程的两根都在区间上. …6分
令, 的对称轴为,
则 解得. ∴实数的取值范围为.
说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵且函数在区间上是单调的,∴
由 即解得. ∴实数的取值范围为
(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,
∴函数在区间上的最大值为, 最小值为.
∵,
∴
. …10分
令, 则,.
设, 则. ∵, ∴.
∴. ∴函数在上单调递增.
∴.
∴.

8、分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有
故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有①又②
消去可得．又，且

9、解：对任意,,
,, 所以
对任意的，
，
，所以
0<,
令=，，
， 所以

反证法:设存在两个使得,则
由，得，
所以，矛盾，故结论成立。
，
所以

+…

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