初中数学竞赛辅导第十五讲乘法公式(含答案).doc

第十五讲 乘法公式
一、内容提要
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn　
4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=a+b)2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
an－bn能被a－b整除, 　　　　
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二、例题
例1. 已知x+y=a xy=b
求　①x2+y2 　②x3+y3 　　③x4+y4 　 ④x5+y5
解：　①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)
　=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］
　　　　 　=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］
　　　　　　＝a5－5a3b+5ab2
例2. 求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3　(a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a2+3a+1是整数　　　证毕
例3. 求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据　a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）
　∴4111＋3111能被　4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字（2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……

练习十五
1． 填空：
①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___
③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) 　④a4+b4=(a2+b2)2－____
,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ 　⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____
2． 填空：
①(x+y)(___________)=x4－y4 　 ②(x－y)(__________)=x4－y4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 　　④（x－y）(__________)=x5－y5　
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=

5.已知x+=3, 求①x2+ ②x3+ ③x4+的值

6、 化简：
①（a+b）2(a－b)2
②(a+b)(a2－ab+b2)
③(a－b)(a+b)3－2ab(a2－b2)
④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)

7.已知a+b=1,　求证：a3+b3+3ab=1

8.已知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值

9.求证：233＋1能被9整除

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方

11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们
的直径分别是a,b,c
① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长
② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。

练习十五答案:
1、① ② ③ ④ ⑤ ⑥
2、① ②
③ ④
3、①3025 ②4225 ③5625 ④7225 ⑤9025
4.　①209 ②616 ③1224 ④2021 ⑤5624
十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是原十位上数字乘上比它大1的数的积
5、①7 ②18 ③47
6、① ②
③ ④
7、证明：∵ ，a+b=1
∴
8、解：由a2=a+1，得：

9、证明：

∵能被9整除，也能被9整除
∴能被9整除
即233＋1能被9整除
10、n(n+1)+(n+1)=(n+1)2
11、①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0
②(ab+ac+bc)

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