高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)内容压缩.doc

选修4——4 第一讲 坐标系 第二讲 参数方程
第一讲 坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
例题：P 7例2在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

练习：P8第4题
4.在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

2.极坐标系的概念
(1)极坐标系

在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;
再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)
注:
极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;
平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;
以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.
有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
P9例1 如下图，在极坐标系中，写出点A、B、C的极坐
标，并标出点所在的位置

练习2：1.已知极坐标,下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )

3. 极坐标和直角坐标的互化
(1) 互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,
并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
（极坐标化直角坐标）P11例3、将点M的极坐标化成直角。

P12练习4、已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标。

（直角坐标化极坐标）P11例4、将点M的直角坐标化成极坐标。

P12练习5、已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。

4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

过极点,倾斜角为的直线

(1)
(2)
过点,与极轴垂直的直线

过点,与极轴平行的直线

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.
练习：P15页、习题1.3
练习：P15页、习题1.3
1.说明下列极坐标方程表示什么曲线

3.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：

4.把下列极坐标方程化成直角坐标方程:

第二讲、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
P22 例1 已知曲线C的参数方程是

2．圆的参数
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。

3.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
P22例3 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线：

例4 求椭圆的参数方程：

P26 练习4.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

P26 练习5.根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：

4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，
其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
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