高中数学新定义问题分类探究.doc

专题：学习能力型问题
1学习能力型问题常见的有以下几种类型：
(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型．
2学习能力型问题的特点
(1)内容新
学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.
(2)抽象性
这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比较抽象，没有解释性和说明性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立学习能力和抽象思维能力要求较高.因此解这类问题往往感到很困难.
(3)学了就用
这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独创性要求较高.
3解学习能力型习题的步骤
(1)阅读理解
首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：这里分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。
(2)运用
在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。
4新定义运算问题
4.1定义数对运算
例1 (1)对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则
A. B. C. D.
(2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m, n)，
b=(p, q)，令a⊙b=mq – np，下面说法错误的是( )
A.若a与b共线，则a⊙b=0 B. a⊙b= b⊙a
C.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D. (a⊙b)2+(a·b)2=| a |2| b |2
4.2定义集合运算
例2 对于集合，定义=,
设，则_____.
4.3定义函数运算
例3 (1)定义运算：ab=已知函数那么函数
的大致图像是_________________.
(2)(11天津) 对实数a和b，定义运算“”： 设函数f(x)= (x2 –2)(x–1)，x∈R．若函数y=f(x) – c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 　
A. ( –1, 1]∪(2,+∞)　B. ( –2, –1]∪(1,2]　 C. ( –∞, –2)∪(1,2]　 D.[ –2, –1]
5新定义概念问题
5.1与集合有关的新定义
例4若则称是“伙伴关系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.
变式：定义平面点集，对于集合，若对，则称集合为开集，给出下列命题：
①集合②集合是开集；③开集在全集上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）
5.2与数列有关的新定义
例5 若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能.)
变式：如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
(Ⅰ)设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
(Ⅱ)设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
(评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，考查的还是课本中数列的基本知识.)
5.3函数有关新定义
例6 (1)在平面直角坐标系中，若点A,B同时满足：①点A,B都在函数图像上；②点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数的一个“姐妹点对”（规定(A,B)与(B,A)是同一个“姐妹点对”）.那么函数的“姐妹点对”的个数是_____.
变式：在直角坐标系中，两个不同的点A(a,b),B(-a,-b)都在函数的图像上，则称[A,B]为函数的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组），已知定义在的函数满足且当时，，则函数的“友好点”的个数为______.
(2)（02上海）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数（）．
(Ⅰ)当，时，求函数的不动点；
(Ⅱ)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围内；
(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若图像上、两点的横坐标是函数的不动点，且、两点关于直线对称，求的最小值．
5.4与几何有关新定义
例7对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为_____.
（本题给出了一个距离的概念，有别于平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义距离的概念.本题重在考察学生的知识迁移和探究能力.）
变式：（10广东）设A(x,y)、B(x，y)时直角坐标平面内的任意两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为=︱x－x︱+︱y－y︱.对于平面上给定的不同的两点A(x,y)、B(x，y).
(Ⅰ)若点是平面上的点，试证明;
(Ⅱ)在平面上是否存在点同时满足：①;②.若存在，写出符合条件的点，并予以证明，若不存在说明理由.
5.5解析几何有关新定义
例8 已知两定点若某直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A型直线”的是_____.
变式：在平面直角坐标系中，已知两定点若某直线上有且只有一点P，使|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”.
(Ⅰ)当a=时，点能否成为“黄金点”？若能求出“黄金直线”的方程，若不能说明理由.
(Ⅱ)当a满足什么条件时，“黄金点”P的轨迹是圆？此时“黄金直线”具有什么特征？
6总结
学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注. 我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.

【课后训练】
1.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的令，下列说法错误的是（）
A. 若共线，则 B.
C.对任意的有 D.
2. 给定集合A，若对于任意，有，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={-4，-2,0,2,4}为闭集合.
②正整数集是闭集合.
③集合A={n|n=3k，k}是闭集合.
④若是闭集合，则为闭集合.
⑤若是闭集合，且，则.
其中正确的结论序号是（ ）
A. ①② B.①④ C.②③ D.③⑤
3. 定义在上的连续函数，如果，使得，则称，下列函数：
① ② ③ ④中，在区间[0,1]上多于1个的函数序号为_____.