高中数学完整讲义——概率随机事件的概率1.事件及样本空间.doc

高中数学讲义

板块一.事件及样本空间

知识内容

版块一：事件及样本空间
1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．
通常用大写英文字母来表示随机事件，简称为事件．
3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．

版块二：随机事件的概率计算
1．如果事件同时发生，我们记作，简记为；
2．一般地，对于两个事件，如果有，就称事件与相互独立，简称与独立．当事件与独立时，事件与，与，与都是相互独立的．
3．概率的统计定义
一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为．
从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．
当是必然事件时，，当是不可能事件时，．
4．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．
若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的基本事件组成的集合．
5．互斥事件的概率加法公式：
若、是互斥事件，有
若事件两两互斥（彼此互斥），有．
事件“”发生是指事件中至少有一个发生．
6．互为对立事件
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．
有．

<教师备案>
1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．
2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．
随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．

主要方法：
解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．

解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：
⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；
⑵ 互斥事件有一个发生的概率；
⑶ 相互独立事件同时发生的概率；
⑷ 次独立重复试验中恰好发生次的概率；
⑸ 次独立重复试验中在第次才首次发生的概率；
⑹ 对立事件的概率．
另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第次才发生”等．

典例分析

题型一 事件及样本空间
【例1】 (2010安徽)
甲罐中有个红球，个白球和个黑球．乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．
① ；
②；
③事件与事件相互独立；
④，，两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与，，中究竟哪一个发生有关．

【例2】 下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两队球赛，强队胜利了；
③一所学校共有名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合，满足，则；
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；
⑥从中任选两数相加，其和为偶数；
其中属于随机事件的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个

【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴六月天下雪；
⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过”；
⑶太阳从西边升起；
⑷当时，事件“”；
⑸数列是单调递增数列时，事件“”；
⑹骑车通过个十字路口，均遇红灯．
【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴在标准大气压下且温度低于时，冰融化；
⑵今天晚上下雨；
⑶没有水分，种子发芽；
⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；
⑸买彩票中一等奖；
⑹若平面平面，，，则．

【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．
⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；
⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；
⑶“两次点数之和为”这一事件包含了几个基本事件；
⑷“两次点数之差为”这一事件包含了几个基本事件．

【例6】 一个口袋中有完全相同的个白球，个黑球，个红球，从中任取球，观察球的颜色．
⑴写出这个试验的基本事件空间；
⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“至少有个白球”这一事件包含哪几个基本事件；

【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为．

⑴写出这个试验的基本事件空间；
⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？
⑷“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？

【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为”，这是指（ ）
A．明天该地区约有的地区降水，其它的地区不降水
B．明天该地区约有的时间降水，其它时间不降水
C．气象台的专家中，有的人认为会降水，另外的专家认为不会降水
D．明天该地区降水的可能性为

【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在点间的事件是　　　事件，点数之和为点的事件是　　　事件，点数之和小于或大于的事件是　　　事件，点数之差为点的事件是　　　　事件．

3
思维的发掘 能力的飞跃