初中数学代数知识大全.doc

牢固的基础是能力的前提！
初中数学代数知识大全
一、 有理数的运算
1、 相反数：
（）
0 （）
（）

2、 绝对值：

3、 倒数：， 或
4、 有理数的加法：

5、 有理数的减法：
6、 有理数的乘法：
7、 有理数的除法：
8、 有理数的乘方：

二、 整式的运算
1、 整式的加减：
（1） 非同类项的整式相加减：（不能合并！）
（2） 同类项的整式相加减：（合并同类项，只把系数相加减）
2、 整式的乘除：
（1） 幂的八种计算
（a） 同底数幂相乘：
（b） 同底数幂相除：
（c） 零指数：
（d） 负指数：
（e） 积的乘方：
（f） 幂的乘方：
（g） 同指数的幂相乘：
（h） 同指数的幂相除：
（2） 整式的乘法：
（a） 单项式乘单项式：
（b） 单项式乘多项式：
（c） 多项式乘多项式：
（3） 乘法公式：
（a） 平方差公式：
（b） 完全平方公式：
（c） 三数和的完全平方公式：
（d） 立方和公式：
（e） 立方差公式：
（f） 完全立方公式：
（g） 三数和的完全立方公式：
（4） 整式的除法：
（a） 单项式除以单项式：
（b） 多项式除以单项式：
三、 因式分解的运算
1、 提取公因式法：
2、 公式法：
3、 十字相乘法：
四、 分式的运算
1、 分式的通分：
2、 分式的化简（约分）：
3、 分式的加减：
（1） 同分母的分式相加减：
（2） 异分母的分式相加减：
4、 分式的乘除：
（1） 分式的乘法：
（2） 分式的除法：
五、 根式的运算
1、 根式的加减： （同类根式才能相加减）
2、 根式的乘除：
（同次根式才能相乘除）
3、 根式的乘方：

4、 分母有理化：

六、 方程的运算
1、 一元一次方程
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。
注意：移项时，此项前的符号要变号；去括号时，括号前是“－”时，括号内的每一项都要变号。
2、 关于的一元一次方程的解的三种情况
（1） ，，方程无解
（2） ，，方程无数多个解
（3） ，方程只有一个解
3、 二次一次方程（组）
（1） 二元一次方程的正整数解（不定方程）
（a） 不定方程的概念：一个方程，两个未知数。
（b） 不定方程的解：有无数组解这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。
（c） 不定方程的一般解法 （选学内容******）
对于不定方程来说：
解法步骤为：（1）整理：用一个未知数表示另一个未知数。
（2）求解：令，求出的整数解。
（3）设参数：∵，且为整数。
∴显然是3的倍数。

故

所以符合要求的解集为：

（2） 二元一次方程组的解法
（a）代入消元法
要点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入方程求解。
（b）加减消元法
要点：通过加减消去一个未知数，求出另一个未知数，代入方程再求出消去的未知数。

（3） 三元一次方程组的解法
主要是加减消元法
要点：先用①式与②式消成二元一次方程，再用②式与③式消成二元一次方程，然后组成新的二元一次方程组再求解。
4、 分式方程
（1） 步骤：方程两边同时乘最简公分母，去分母，化为整式方程求解，检验。
（2） 要点：增根的检验很必要，不然方程中分母为0，无意义！
（3） 增根的检验：代入原方程的分母，看分母是否为0。为0则是增根，不为0则是原方程的根
（4） 拓展提高：已知增根，求分式方程中的参数的值。先公为整式方程，代入增根的值，即可求出原方程中的参数的值。（注意，不能先代入，否则分母为0，无法计算。）
5、 一元二次方程
（1） 三种解法
（a） 配方法
步骤：一化（化二次项的系数为1）
二移（把常数项移到方程右边）
三配（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）
四整理（写成完全平方式，两边开方）
五写根（通过开方的两个答案，写出两个根）
（b） 公式法
步骤： 一、找系数
二、算的值
三、代公式
四、写出两根

（c） 因式分解法
步骤：一整理（方程整理成右边=0的形式）
二分解（把方程左边分解成两个整式之积）
三求根（根据每一个整式为0，求出两根）
（2） 求根公式的理解
（a） 不能为0。因为，分母=0。式子无意义
（b） ， ，

两根互为相反数。
（c） ，
，
两根之中至少有一个根为0。
（3） 根的判别式
（a） 当时，方程有两个不相等的实数根。
（b） 当时，方程有两个相等的实数根。
（c） 当时，方程元实数根。
（d） 当时，方程有两个实数根。
（e） 、异号时，方程必有实数根。

（4） 方程的特殊解与系数的关系
（a） 当方程有一个根为0时，，另一根为
（b） 当方程有一个根为1时，，另一根为
（c） 当方程有一个根为时，，另一根为
（5） 根与系数的关系（韦达定理）
的两个根为和，则和满足以下关系：
＋= ，=
根据以上规律还可以得到以下关系：

的分析如下：
∵
即：

∴
七、 不等式（组）的运算
1、 不等式的三条性质
（1） 若
（不等式两边同时加减相同的代数式，不等号方向不变）
（2） 若
（不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变）
（3） 若
（不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变）
2、 不等式的解法
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。
注意：移项要变符号，两边同时乘或除以一个负数，不等号要改变。
3、 不等式的解集在数轴上表示

（1） “”，用空心圆圈
（2） “”，用实心圆圈
4、 求符合不等式解集的特殊解
（1） 正整数解
（2） 非负数解
（3） 与一元二次方程的判别式相结合的求解集。(分)
（4） 知道特殊解的个数，反过来求不等式中的参数的取值范围。
5、 不等式组的四种解集
（1） 两个都是大于：大大取较大。
解集为：
（2） 两个都是小于：小小取较小。
解集为：
（3） 大于小的，小于大的：大小小大中间找。
解集为： （、之间）
（4） 大于大的，小于小的：大大小小没法找。
解集为：无解
6、 用图像解不等式
（1） 一次函数
分>0和<0两种，即横轴之上与横轴之下两种图象来考虑。
刚好在轴上 ，即=0。

分三种情况来考虑：
A
① 图象与轴的交点：=0

② 图象在轴之上的部分：>0

③ 图象在轴之下的部分：<0

（2） 一次函数与反比例函数
分 三种情况考虑
B
A
如图：交点坐标很重要。
每种情况都要分几个区域来考虑。
①直线在曲线之上：一次函数大于反比例函数

②直线在曲线之下：一次函数小于反比例函数

③直线与曲线的交点：一次函数等于于反比例函数

（3） 二次函数

从开口方向、图象与轴交点坐标、图象在轴之上、与在轴之下几个因素来考虑
① 图象在轴上方的部分：

B
A
② 图象在轴下方的部分：

③ 图象与轴的相交处：

④ 无交点时，整个图象在上与在下两种。

八、 直角三角形边角关系（三角函数）的运算
B
C
A

1、 四种三角函数的（直角三角形）定义
（1） 正弦：（对边比斜边）
（2） 余弦：（邻边比斜边）
（3） 正切：（对边比邻边）
（4） 余切：（邻边比对边）
2、 四种三角函数的（直角坐标）定义

（1） 正弦
（2） 余弦：
（3） 正切：
（4） 余切：
注意：（A）当角是锐角时，四种三角函数都是正数；
（B）当角是钝角时，P点转到第二象限，的值为负数，
此时只有正弦为正数，其余的三种三角函数都是负数。
（C）由对称可知：
互补的两角的正弦相等，如：°=°，°=°
互补的两角的其他三种三角函数互为相反数，
如：°=°，°=°°=°
3、 特殊角的三角函数值

0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0

1
cosA
1

0
tanA
0

1

cotA

1

0

口诀：正弦，余弦分分母2，分子根号1，2，3；正切余切分母3，分子根号3次方。

4、 三角函数的关系
（1） 倒数关系： （两切相乘积为1）
（2） 平方关系： （两弦平方和为1）
（3） 商数关系： （两弦相除得到切 ）
（4） 互为余角的三角函数：

（5） 互为补角的三角函数：

5、 直角三角形的边角计算
（1） 计算对边：
（2） 计算斜边：
（3） 计算邻边：
（4） 规律：不必死记硬背，只记定义变形。先写相关定义，再作乘除变形。
如： 可以推出： 和

6、 三角形中重要的三角函数公式
（1） 三角形的面积公式：

三角形的面积=夹角的正弦与这两边乘积的一半。

（2） 正弦定理：
（为△ABC的外接圆的半径）
A
B
C

三角形中任一边与这边的对角的正弦比值相等。

A
B
C

（3）余弦定理：

三角形中任一边的平方=另两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。

（4）规律与用途
A、 用两边夹一角计算三角形的面积。
不知道高时，使用这种方法可使计算简便。尤其适用夹角是特殊角时。
在求夹角是60°、30°、120°、150°等三角形的面积时，可以直接使用这种公式计算，不需要作高来分析。

150°

°

如：

°
°

°

°

B、 已知两角及其中一个对边，求另一条对边。
用正弦定理列出比例式计算。知道两角夹一边也可以转化为正弦定理解。

∵
∴

当和是特殊角时计算尤为简便。

C、 已知两边夹一角计算第三边。
用余弦定理计算。夹角一般要特殊角才好计算。

∵
∴

当是特殊角时，计算很简便。特别是°和°时可以直接使用

（5）典型例题
A
B
C
D
① 非直角三角形求解
如图：已知∠B=60°，∠C=45°，BC=6，求
方法1：作高
作高AD，设AD=，
则 在Rt△ACD中DC=；
在Rt△ABD中BD=
∵BC=6 即 解得
∴
方法2：正弦定理
由正弦定理得： 即

从而求出AB的值。

再利用：求出三角形ABC的面积。
（说明：只是此题中75°不是特殊角）

② 两仰角求高（分同侧与异侧）
如图：已知∠A=60°，∠CBD=45°，AB=6，求CD
A
B
C
D
方法1：分两Rt△分析
在Rt△ACD中，tan∠A
（同侧）
∴
在Rt△BCD中，tan∠CBD
∴
∵ 即： ∴
∵
（异侧）
C
D
B
A
方法2：直接用公式
注意到上面的推导过程，可得以下公式：
设，∠A=，∠CBD=，
则有以下公式：（同侧）
（异侧）
这个公式是利用两仰角测量物体的高的经典公式，是第一个仰角，是第二个仰角表示向前走的一段距离。
这种方法在实际生活中有着广泛的应用，特别适合不能直接到达物体底部的测量。比如测量河对岸的塔高（有河水阻隔，不能直接到达塔底）用这种方法非常简便。

A
B
D
C
E
③ 特殊三角形
如图：已知AB=20，在∠CBD=60°，∠CAE=30°，求
CD和BD

分析：关注题中的△ABC，通过角度的计算，知道
∠ABC=30°，∠ACB=30°得到△ABC是特殊的三
角形，即AB=AC，从而在Rt△AEC中求出CE。
CD和BD就好计算了。
可见分析出△ABC是等腰三角形是解决此题的关键！
因此，对于一些特殊三角形的分析是解题的重要思考方向。
第 14 页 共 14 页