新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结复习练习.doc

直角三角形的边角关系知识点复习
考点一、锐角三角函数的概念
如图，在△ABC中，∠C=90°
正弦：
余弦：
正切：

考点二、一些特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

考点三、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)， cosA=sin(90°—A) ；
（2）平方关系：； （3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1
（4）商的关系：tanA=
考点四、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时， (1) 正弦值随着角度的增大而_______；
(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；
考点五、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：________（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：___________
（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=______，正切tanA=_______
(4) 面积公式：（hc为c边上的高）
考点六、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做_______(或________)。
用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做________)，那么。
解直角三角形的类型与解法
已知、解法
三角
类型

已 知 条 件

解 法 步 骤

Rt△ABC

B
c a
A b C

两

边
两直角边
（如a，b）
由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－A，
c＝
斜边，一直角边
（如c，a）
由Sin A＝，求∠A；∠B＝90°－A，
b＝
一
边
一
角

直角边

和锐角

锐角，邻边
（如∠A，b）
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，
c＝cosA
锐角，对边
（如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A，
b＝c·cos A

计算边的口诀：有斜求对乘正弦；有斜求邻乘余弦；无斜求对乘正切
选用关系式口诀：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切函数理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边用除还需正余弦；
计算方法要选择，能用乘法不用除。
典型例题：1：在Rt△ABC中，∠C=900。
 已知sinA=，则∠A=_______0,sinB=_______,COSB=_______,tanB=________.
‚ 已知sinA= , 则sinB=_______,COSB=_______,tanB=________.
ƒ 已知sinA=0.6,AB=8,则BC=_______ _.(口诀：__________________________)
已知cosA=0.6,AB=10,则AC=_________.(口诀：______________________)
已知tanA=0.6,BC=6,则AC=__________.(口诀：__________________________)
A
B
C
450
300
4cm
D
┌
2：如图,根据图中已知数据,求△ABC的BC边上的高和△ABC的面积.（近似取1.7）

变式1：如图,根据图中已知数据,求AD.(sin25º=0.4 ， tan25º=0.5 ，sin55º=0.8 ，tan55º=1.4)
A
B
C
550
250
20
D
┌

变式2：如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进100m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果保留根号)

精选习题：
1. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （　 　）
（A） 都扩大2倍 （B） 都扩大4倍 （C） 没有变化 （D） 都缩小一半
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A． B. C. D.
3.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（ ）
６0０Ｏ
ＡＡ
ＢＡ
ＭＡ
东
（A）2： （B）：2 （C）：1 （D）1：
5.等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （　 　）
（A） 600 （B） 900 （C） 1200 （D） 1500\
6.如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船
以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北
偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
Ａ．km Ｂ．km Ｃ．7km Ｄ．14km
7、河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
8.在△ABC中，∠A=30º，tan B= ，BC=，则AB的长为
9、=
10、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
11、11、锐角A满足2 sin(A-15)=,则∠A= .已知tan B=，则sin= .
12、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为 .
13、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角
为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为_________________米（保留根号）．
A
B

C
D
α

14.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．

15.△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．则线段AD的长为________．
16、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°, AC=10,试求CD的长．

17.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．
D
C
B
A
②

①
第17题图
（结果精确到0.1米，参考数据）．

18、如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.

19、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα=1.6,tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．
A
C
D
B
E
F

G

20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，
tan63.5°≈2）
C
D
B
2
60°
1
21 如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， ∠A= 60°，
∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD的面积。

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