1、
数列
【兴趣导入】
【知识梳理】
(一)数列概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
①； ②.
Ⅰ.等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个
2、数列叫做等差数列，常数
称为等差数列的公差.
2.等比数列相关公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
⑶等差数列判断：（，是常数）是等差数列；
⑷若，则；
Ⅱ.等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数
列，常数称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .
⑵前项和公式：①当时，
②当时，.
⑶等比数列的判定方法：（，是常数）是等比数列；
⑷
⑸若，则；
【典型例题】
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量
3、求解（方程的思想）
1、已知为等差数列的前项和，，求；
2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知为等差数列的前项和，，则 ；
2、设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
3、设是等差数列的前n项和，若（ ）
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（ ）
5、已知为等差数列的前项和，，则
4、 .
6、在正项等比数列中，，则_______。
7、已知数列是等差数列，若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和，，，则 .
9、在等差数列中，若，则的值为（ ）
10、在等比数列中，已知，，则 .
11、已知为等差数列，，则
12、等差数列中，已知
B、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
5、 求证：{}是等差数列；
2）证明数列等比
例1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；
例2、已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
C、求数列的前n项和
基本方法：
1）公式法，
2）拆解求和法.（对于数列等差和等比混合数列分组求和）
例1、求数列的前项和.
例2、求数列的前项和.
例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；
例1、求和：S=1+
6、
例2、求和：.
3）倒序相加法，
例、设，求：
⑴；
⑵
4）错位相减法，
例、若数列的通项，求此数列的前项和.
D、求数列通项公式
1）给出前n项和求通项公式
1、⑴； ⑵.
2、设数列满足，求数列的通项公式
2）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
例：已知数列中，，求数列的通项公式；
b、已知关系式，可利用迭
7、乘法.
例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；
c、构造新数列（构成等差或等边）
1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解
例、，求数列的通项公式.
3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.
4°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中，，求数列的通项公式.
例2、数列中，，求数列的通项公式.
7
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