1、
第九篇 解析几何
第1讲 直线的方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．
解析 直线的斜率为k＝tan α＝，又因为α∈[0，π)，所以α＝.
答案
2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为________．
解析 由点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
答案 3x＋4y－14＝0
3．(2014·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析 ∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
2、由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案 4
4．(2014·泰州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－.
则有－＝2，所以k＝－24.
答案 －24
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m＝________.
解析 由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－，在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－.
答案 2或－
6．(2014·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b
3、c应满足________．
①ab>0，bc<0；②ab>0，bc>0；③ab<0，bc>0；④ab<0，bc<0.
解析 由题意，令x＝0，y＝－>0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0，从而ab＞0.
答案 ①
7．(2014·淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
答案 (－∞，－1)
4、∪
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析 设所求直线的方程为＋＝1，
∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.
①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
二、解答题
9．(2014·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截
5、距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程
6、若不存在，请说明理由．
解 存在．理由如下：
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝，则直线AB的方程为________．
解析 |AB|＝＝＝，所以cos α＝，sin α＝±，所以kAB＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，所以直线AB的方程为
7、y＝x＋或y＝－x－.
答案 y＝x＋或y＝－x－
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
解析 如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a
8、＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，
故当b＝时，ab取得最大值.
答案
二、解答题
4．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
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