全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案).doc

数列专题
高考真题
(2014·I) 17. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数.
（Ⅰ）证明：an+2-an=λ；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

(2014·II) 17.（本小题满分12分）
已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1.
（Ⅰ）证明an+12是等比数列，并求an的通项公式；
（Ⅱ）证明： 1a1+1a2+…+1an<32 .

(2015·I)（17）（本小题满分12分）
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3，
（Ⅰ）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=1anan+1 ,求数列{bn}的前n项和。

(2015·II)（4）等比数列an满足a1=3， =21，则 ( )
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．
(2016·I)（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
(2016·I)（15）设等比数列{an}满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）
Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1 ，S7=28 记bn=[logan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9] = 0，[lg 99]=1.
（I）求b1，b11，b101；
（II）求数列{bn}的前1 000项和.

(2016·III)（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,⋯,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
(2016·III)（17）（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0
（I）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（II）若Sn=3132 ，求λ.

(2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推。求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
(2017·II)15. 等差数列的前项和为，，，则 ．
(2017·III)9．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2,a3,a6成等比数列，则{an}前6项的和为
A．-24 B．-3 C．3 D．8
(2017·III)14．设等比数列{an}满足a1+a2=-1, a1-a3=-3，则a4=________．
(2018·I)4．记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A．-12 B．-10 C．10 D．12
(2018·I)14．记为数列的前项和.若，则_____________．
(2018·II)17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
(2018·III)17．（12分）
等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
(2019·I)9．记为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则
A．an=2n-5 B． an=3n-10 C．Sn=2n2-8n D．Sn=12n2-2n
(2019·I) 14．记为等比数列{an}的前n项和．若a1=13，a42=a6，则S5=____________．
(2019·II)5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16 B．8 C．4 D．2
(2019·II)14．记为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2=3a1，则S10S5=___________.
(2019·III)19．（12分）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.

数列专题
参考答案
(2014·I) 17.
（Ⅰ）由题设，anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1，
由于an+1≠0，∴an+2-an=λ ………………………………………6分
（Ⅱ）a1a2=λS1-1=λa1-1，而a1=1，解得 a2=λ-1，
由（Ⅰ）知a3=λ+a2
令2a2=a1+a3，解得λ=4。
故an+2-an=4，由此可得
{a2n-1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n-1=4n-3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n-1。
所以an=2n-1，an+1-an=2
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列。…………………………………12分
(2014·II) 17.
（Ⅰ）证明：由an+1=3an+1得an+1+12=3(an+12)
又a1+12=32，所以{an+12}是首项为32，公比为3的等比数列
an+12=3n2，因此{an}的通项公式为an=3n-12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1an=23n-1
因为当n≥1时，3n-1≥2×3n-1，所以13n-1≤12×3n-1
于是1a1+1a2+1a3+⋯+1an<1+131+132+⋯+13n-1=1-13n1-13=32（1-13n）<32
所以1a1+1a2+1a3+⋯+1an<32
(2015·I)（17）解：
（Ⅰ）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1，即
2(an+1+an)=an+12an2=(an+1+an)(an+1-an)
由于an>0，可得an+1-an=2
又a12+2a1=4a1+3，解得a1=-1（舍去），a1=3
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1…………………6分
（Ⅱ）由an=2n+1可知
bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn=b1+b2+...+bn
=12[(13-15)+(15-17)+...+(12n+1-12n+3)]
=n3(2n+3)…………………………………………………………………………12分
(2016·II)17.
（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为

（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
(2016·III)（17）
解：（Ⅰ）由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=11-λ，a1≠0.
由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan，即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an+1an=λλ-1.
因此{an}是首项为11-λ，公比为λλ-1的等比数列，于是an=11-λ(λλ-1)n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=1-(λλ-1)n，由S5=3132得1-(λλ-1)5=3132，即132，
解得λ=-1．

(2018·II)17．
（1）设的公差为d，由题意得．
由得d=2．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．
(2018·III)17.
解：（1）设的公比为，由题设得.
由已知得，解得（舍去），或.
故或.
（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.
若，则.由得，解得.
综上，.
(2019·III)19.
解：（1）由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，即an+1+bn+1=12(an+bn)．
又因为a1+b1=l，所以an+bn是首项为1，公比为12的等比数列．
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2．
又因为a1–b1=l，所以an-bn是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，an+bn=12n-1，an-bn=2n-1．
所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12，
bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12．

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