初中数学三角形专题复习以及练习.doc

三角形专题
知识点梳理
考点一、三角形
1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2、三角形的分类.
三角形
(按边分)
三角形
(按角分)

3、三角形的三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
4、三角形的重要线段
①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心
②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心
③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)
5、三角形具有稳定性
6、三角形的内角和定理及性质
定理：三角形的内角和等于180°.
推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°
8、多边形及多边形的对角线
①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:
A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和
①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

考点二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
3、全等变换
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、直角三角形
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
考点五、锐角三角函数

1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
2.特殊值的三角函数：
a
sina
cosa
tana
cota
30°

45°

1
1
60°

三角形专题练习
1.已知：如图,D是BC上一点, ∠C＝62°,∠CAD＝32°,则 ∠ADB＝ 度.
2. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）
A、4cm、5cm、6cm B、2cm、3cm、5cm
C、4cm、4cm、9cm D、12cm、5cm、6cm
3. 如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）
A．30° B． 50° C．60° D．100°
D

E

F

A

B

C

30
°
50
°

4. 已知：如图，点C、D在线段AB上，PC＝PD。
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为＿＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是
△＿＿＿≌△＿＿＿。

5. 如图，等腰三角形ABC的顶角为120º，腰长为10，则底边上的高AD＝＿＿＿＿。

6. 在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为　　　　　

（第7题）

7. 如图所示，BC＝6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，
那么线段EF的长是（ ）．
（A）6 （B）5 （C）4.5 （D）3

8. 如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A
D
C
B
O
A、1< m <11 B、2< m <22
C、10< m <12 D、5< m <6

A
D
B
C

9. 如图已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是_　　　　　_。

10. 下列说法中，正确的是（ ）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．两角及其夹边对应角相等的两个三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等。
11. 用一块等边三角形的硬纸片做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（ ）
A. 100° B. 110°C. 120° D. 130°
A
B
E
D
C

12. 已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，AC=10，则AB=_____________.

13. 在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
14. 在Rt△ABC中，∠C为直角， ∠A=30°，则sinA+sinB=( )
A．1； B．； C．； D．
15.若∠A是锐角，且sinA=，则( )
A．0°<∠A<3°°； B．30°<∠A<45°；C．45°<∠A<60°；D． 60°<∠A<90°

D
C
A
B
16.如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( )
A．； B．； C．； D．
17. 已知α为锐角，且
C． sin45°