全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编39操作探究.doc

操作探究
一、选择题
1.（2014•德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
翻折变换（折叠问题）
分析：
先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
解答：
解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CFFH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；

点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8﹣x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；

过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8﹣3）﹣3=2，
由勾股定理得，EF===2，故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选C．

点评：
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．
二.填空题
三.解答题
1. （ 2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

考点：
四边形综合题
分析：
（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．
解答：
解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG==12，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12h，
∵DF∥BC，
∴=，
∵BC=20cm，
即：=
∴x=×20，
∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．
∴﹣=﹣=6，
∵AH=12，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．

（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．
理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
点评：
本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．

2. （ 2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：
反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3×CD．
∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C===．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG==．
∴OM=OH=EG=．
∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH===．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG===．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．

点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．
　3．（2014•浙江宁波，第25题12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
考点：
相似形综合题；图形的剪拼
分析：
（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．
解答：
解：（1）如图2作图，

（2）如图3 ①、②作△ABC．

①当AD=AE时，
∵2x+x=30+30，
∴x=20．
②当AD=DE时，
∵30+30+2x+x=180，
∴x=40．
（3）
如图4，CD、AE就是所求的三分线．
设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2x=（x+y）：2，
所以联立得方程组，
解得 ，
即三分线长分别是和．
点评：
本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．