椭圆高考典型题型整理.doc

椭圆高考典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；
例2. 方程所表示的曲线是
练习：
1.方程对应的图形是（ ）
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
2.方程对应的图形是（ ）
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
3.方程成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是
5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ；
6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；

题型二. 椭圆的方程
（一）由方程研究曲线
例1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；
（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；

例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；

注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；
（四）定义法求轨迹方程；
例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程；

（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；

题型三.焦点三角形问题
例1. 已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；
例2.
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为

例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；

例3.若椭圆的离心率为，则 ；
例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为

题型五.求范围
例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；

题型六.椭圆的第二定义的应用
例1. 方程所表示的曲线是
例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；
例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为

例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．

题型七.求离心率
例1. 椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率
例2若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为
例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为 ；

题型八.椭圆参数方程的应用
例1. 椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标
例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

题型九.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？

例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。

例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：设，：

把代入椭圆方程得：，即
，，

∴，此时
令直线的倾角为，则即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。
例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。
（二）弦长问题
例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。
分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、，
则弦的长度的计算公式为，
而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设（），则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，
，，则

∴，即
∴，又，∴，∴；
例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，
若，为坐标原点，的斜率为，求的值。
例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程
例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；

例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；

例3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.
（1）用直线的斜率表示的面积；
（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程．
解：（1）设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2
故椭圆方程；
设，由于点分有向线段的比为2．
∴，即
由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于两点
③

④

⑤

而 ⑥
由①④得:，代入⑥得：.
（2）因,
当且仅当取得最大值．
此时，又∵，∴；
将及代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程．
例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题
例1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；

例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十.最值问题
F2
F1
M1
M2
例1．若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。
分析：欲求的最大值和最小值
o
可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义
, 为椭圆的左焦点。
解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知
当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。
因为，所以, ；
结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；
例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。
分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。
解：，连接并延长交椭圆于点M1，
则M在M1处时取最大值；
∴最大值是10+，最小值是。
结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;
2.二次函数法
例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。
解：设为椭圆上任意一点，

由椭圆方程知的取值范围是
（1）若，则时，
（2）若,则时
（3）若,则
结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；
解：三角换元 ∵ ∴令
则
当时；当时,结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线将代入椭圆方程整理得，由△=0解得, 时直线与椭圆切于点，
则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，
所以；
时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以。
结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）

例3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：
（1）的最小值； （2）的取值范围．
解：（1），此时点为过点且垂直于的线段与椭圆的交点；
（2）由椭圆的定义知，故，
①，故
（当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；
②，故;
（当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）
综上可知，的取值范围为;
题型十一.轨迹问题
例1．到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )
 A．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段
例2．已知点，点在圆的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。

例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合
例1．关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
例2．求函数的最值。
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