高中物理八大解题方法之四：导数法.doc

高中物理解题方法之导数法
江苏省特级教师 戴儒京
在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布

图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成
以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：
=
因为原点的电场强度，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1.用三角函数法求导数
中把代入得。
令，求导数=，欲使，需（舍去）或即，此处，，将其代入得。
方法2. 用代数法求导数
=，令,对求导数得,令其分子为0，得，代入得。
3.图象
用Excel作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。

图2.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的分布
此图象也验证了以上所得的结果：图象中令，则当处电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究
例题．如图所示，R为电阻箱，为理想电压表．当电阻箱读数为R1=2Ω时，电压表读数为U1=4V；当电阻箱读数为R2=5Ω时，电压表读数为U2=5V．求：
(1)电源的电动势E和内阻r。 图3 电路图
(2)当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少?
【解析】由闭合电路欧姆定律： 　　
联立上两式并代入数据解得：，
（2）解法1.代数法，电功率表达式： 将上式变形为：，由上式可知时有最大值
解法2.导数法，电功率表达式：，根据求导公式，得导数：=，当时，导数的分子为零，即此时有极大值，将代入式得最大值
本题的物理意义可用图4图象说明：

图4电源输出功率与外电路电阻的关系
图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。
例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大
大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。
弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。
一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。
如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞，

图5 碰撞
碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。
由系统的动量守恒定律得 m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’……①
则碰撞中动能损失为 ②
由①得 ③
③代入②得，求对的导数，得
令0，解得，④ 即当时，有最大值。
将④代入③解得，即，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。将④代入②解得动能损失最大为。
例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，、两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？
图 6
解： B球的初始高度为，碰撞前球的速度为.在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：
①
②
弹性碰撞时，动量守恒有 ③
动能守恒有 ④
解得，，
根据，得，为A球上升的最高高度。
根据，得，为A球上摆的最大角度。
完全非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一起时，动量守恒有，解得，
根据，得，为A球上升的最大高度的最小值。
根据，得，为A球上摆的最大角度的最小值。
例4.电磁感应问题
如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a。
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；
（2）经过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？
（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量。

【答案】
（1） 感应电动势
导轨做初速为零的匀加速运动，，

回路中感应电流随时间变化的表达式

（2） 导轨受外力F，安培力，摩擦力。其中

由牛顿定律

上式中，当，即时外力F取极大值。

(3)设在此过程中导轨运动距离，由动能定理

由于摩擦力，所以摩擦力做功

。
【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。难度：难。
在式子的极值的计算中，答案用了变形，然后根据两式之积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。
也可以用导数法求极值。设上式的分母为，取导数：，令其等于0，解得极值条件为。代入得，此时，，
。
例5.交流电
如图（a），在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图（b）所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势

A．在时为零
B．在时改变方向
C．在时最大，且沿顺时针方向
D．在时最大，且沿顺时针方向
【解析】根据法拉第电磁感应定律，感应电动势，即为的导数，有,S不变，与B成正比，所以，E与 i的导数成正比，据此可以画出E-t图象如下：

从图象可以看出：
A．在时为零，正确；
B．在时改变方向，错误；
C．在时为负最大，且沿顺时针方向，正确；
D．在时为正最大，且沿逆时针方向，D错误。
【答案】20．AC
【点评】图象是正弦函数（或余弦函数）图象，说明电动势E随时间非均匀变化。函数是函数的导数函数。
例6.带电粒子在磁场中的运动
粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为的匀强电场。一束质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度从小孔0处沿中轴线射入此区域。研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动 并从挡板上小孔P射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为,通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为的匀速直线运动和以速率在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，、；均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用。
(1)若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O射入时的速度；
(2)增加磁感应强度后，使带电粒子以（1)中速度射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应满足什么条件？
(3)磁感应强度为时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？

例1题图
【解答】（1）带电粒子能沿中轴线运动受力平衡，则
，解得
(2)设磁感应强度增为B，对速度为的匀速直线分运动，有
，解得
匀速圆周分运动的速率
由向心力公式，解得
当时，半径有最大值
要让所有带电粒子都不能打到金属板，应满足，即
(3)要提高速度选择器的速度分辨率，就要使不能沿轴线运动的偏离轴线有最大的距离，圆周运动完成半周期的奇数倍，则

圆周运动的周期
故应满足的条件
【拓展】从此题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解此题。
在得出后，即有当时，半径有最大值，这是为什么？
【解答】这个是求极值问题，本来是数学问题，在物理题中，物理老师也要解答。这就是高考要求的“用数学方法处理物理问题的能力”。
这里要用导数法求极值：令=
根据求导公式，得，令其分子为0，得式取极值的条件是，将此条件代入则得。
例7.振动和波问题
图甲为一列简谐横波在t=0．10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（    ）
　　A．t=0．15s时，质点Q的加速度达到正向最大
　　B．t=0．15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
　　C．从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴正方向传播了6m
　　D．从t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程为30cm

　　答案：AB
　　分析法：题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=0．15s时，质点Q到达波谷，其加速度达到正向最大，A选项正确；图甲表示0．10s时的波形图，t=0．10s时由图乙可知质点Q正经过平衡位置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波向左传播，Q才处在“上坡”的位置，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为8m，由图乙可知周期为0．20s，波速v=λ/T=40m/s,从0．10s到0．15s时间段内，波向左平移s=vt=2m。画出此时的波形如下图（将波向左平移2m）

　　从图可以发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m，C选项方向判断错误；从t=0．10s到t=0．25s，经过的时间为0．15s，等于即0．05s的3倍，质点P做变速运动，通过的路程不能用来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm（此处有的同学禁不住问：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择AB。
　　【函数导数法】
因为时刻波方程是，波函数基本函数式是（因为本题波向左传播，所以式中负号改为正号）
　　由图甲可知波长为8m，振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0．20s，所以本题波函数可以写为=   ①
　　A选项：Q点的振动方程是    ②
　　对②式求导数得速度函数=  ③
　　对③式求导数得加速度函数1000       ④
将t=0．15s代入④式得1000，是正最大，所以A正确；
　　B选项：
　　P点的振动方程是    ⑤
对⑤式求导数得速度函数= ⑥
　　将t=0．15s代入⑥式得=，为负，所以B正确；
　　C选项：
t=0．10s时的波函数可以写为=cm== ⑦
t=0．25s时的波函数可以写为=cm== ⑧
　　根据⑦⑧两式，用电子计算机Excel分别画出t=0．10s时和t=0．25s时的图象如下图：

　　从图可以看出，从t=0．10s到t=0．15s，该波的波形从y1变成y2，该波沿x轴负方向传播了6m，例如波峰从10到4， 所以C错误。
　　D选项：
　　从上图可以看出，t=0．10s时刻，质点P（x=1）的位移为7cm，t=0．15s时刻，质点P（x=1）的位移为-7cm，因为t=0．10s时刻和t=0．25s时刻质点P的运动方向都是向上，所以t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程为3+10+10+3cm=26cm，所以D错误。
　　注意：此处算出了从t=0．10s到t=0．25s，质点P通过的路程，回答了同学的疑问。

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