高中物理竞赛话题18：关联速度问题.doc

话题18：关联速度问题
一、刚体的力学性质:
讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．
如图所示，三角板从位置移动到位置，可以认为整个板一方面做平动，使板上点移到点，另一方面又以点为轴转动，使点到达点、点到达点．由于前述刚体的力学性质所致，点、及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度，是转动半径，是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．
根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．
结论一、杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．
再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．
结论二、接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．
相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线、，如图所示，设直线不动，当直线沿自身方向移动时，交点并不移动，而当直线沿直线的方向移动时，交点便沿直线移动，因交点亦是直线上一点，故与直线具有相同的沿直线方向的平移速度．同理，若直线固定，直线移动，交点的移动速度与直线沿直线方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线、各自运动，交点的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．
结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．
二、相关的速度
所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．
(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。
、如图所示的情况，绳拉着物体在水平面上运动，端以速度做匀速运动，问做什么运动？
有的同学会将绳的速度分解成竖直分速度和水平分速度，以为木块的速度．这是错误的。因为实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将绳端实际上的水平速度分解成沿绳方向的分速和垂直于绳的分速，使绳子缩短，所以，使绳子围绕滑轮转动。因此，而且随着的增大而越来越大。
、如图所示，杆沿滑下，、二端的速度和也是二个相关的速度。
将分解成沿杆方向的分速和垂直于杆的分速,
将分解成沿杆方向的分速和垂直于杆的分速.
由于杆的长度不会发生变化，所以
，
即，即

、如图所示，半径为的半圆凸轮以等速沿水平面向右运动，带动从动杆沿竖直方向上升，为凸轮圆心，为其顶点．求当时，杆的速度．
分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在点接触，杆上点速度是竖直向上的，轮上点的速度是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图所示，即
，则
．
故杆的速度为
(二)、两杆交点的运动
两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。
、图中的、两杆均以角速度绕、两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当时，，试求时刻两棒交点点的速度和加速度。
本问题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质是两杆的角速度相同，所以不变，推知点的轨迹在正三角形外接圆上运动．由此可重点在几何模型上去探求解法。
当时，为等边三角形，因此，它的外接圆半径，图。二杆旋转过程中，角增大的角度一直等于角减小的角度，所以角的大小始终不变（等于），因此点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为和是对着同一段圆弧的圆心角和圆周角，所以，即以的角速度绕点做匀速圆周运动，任意时刻的速度大小恒为

向心加速度的大小恒为

、如图，一平面内有二根细杆和，各自以垂直于自己的速度和在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。
参考图，经过时间之后，移动到了的位置， 移动到了的位置，和的原位置交于点，和交于点。

在中：

因为角和角互补，所以

因此两杆交点相对于纸平面的速度

不难看出，经过时间后，原交点在上的位置移动到了位置，因此交点相对的位移就是，交点相对的速度就是：

用同样的方法可以求出交点相对的速度

因为可以取得无限小，因此上述讨论与是否为常量无关。如果是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。
、如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为，顶点以速度沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点的速度.
分析与解:顶点作为杆上的一点，其速度是沿杆方向的速度及垂直于杆方向速度的合成；同时作为杆上的一点，其速度又是沿杆方向的速度及垂直于杆方向的速度的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图显见，，．故顶点的速度可通过、速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得
，，
于是可得
由几何关系可知
则， ，由此求得．
上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图所示，若以、点为基点，则点作为杆上的点，其速度是与点相同的平动速度和对点的转动速度之合成，同时点作为杆上的点，其速度是与点相同的平动速度和对点的转动速度之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得
而由矢量图可知
，代入前式可得．
两解殊途同归．
、如图所示，水平直杆在圆心为、半径为的固定圆圈上以匀速竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环的速度，设与竖直方向的夹角为．
分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度沿杆方向与圆圈切线方向分解，则的速度为
．
、如图所示，直角曲杆绕轴在如图所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆滑动．已知，曲杆的角速度，求时，小环的速度．
分析与解本题首先应该求出交叉点作为杆上一点的速度，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿方向的分量即为小环速度．
由于刚性曲杆以为轴转动，故其上与直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径、大小是．
将其沿、方向分解成两个分速度，如图所示，即得小环的速度为
．
、如图所示，一个半径为的轴环立在水平面上，另一个同样的轴环以速度从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点的速度与两环中心之距离之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.
分析与解轴环速度为，将此速度沿轴环、的交叉点处的切线方向分解成、两个分量，如图，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点的速度即为沿对方速度分量．注意到图中显示的几何关系便可得.
三、关联速度问题是运动的合成和分解的一个基本模型
关联的本质是转动和平动的关联，分析时既要考虑运动的独立性原理，又要考虑物体实际的运动轨迹，还要考虑连绳的长度，建立好正确的几何模型对解题至关重要。
、如图所示，杆的端以速度做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为，当杆与水平线的交角为时，求杆的角速度及杆上与半圆相切点的速度．
分析与解考察切点的情况．由于半圆静止，杆上点速度的法向分量为零，故点速度必沿杆的方向．以点为基点，将杆上点速度分解成沿杆方向分量和垂直于杆方向分量（如图所示），则是点与点相同的沿杆方向平动速度，是点对点的转动速度，故可求得点的速度为   ，
又　
由题给几何关系知，点对点的转动半径为 
代入前式中即可解得 ．
、如图所示，物体置于水平面上物体上固定有动滑轮,为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮、后固定在点，段水平．当以速度拉绳头时，物体沿水平面运动，若绳与水平面夹角为，物体运动的速度是多大?
分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳段上各点有与绳端相同的沿绳段方向的分速度，再看绳的这个速度与物体移动速度的关系：设物体右移速度为，则相对于物体(或动滑轮的轴心)，绳上点的速度为，即，
方向沿绳方向；而根据运动合成法则，在沿绳方向上，绳上点速度是相对于参照系(或动滑轮的轴心)的速度与参照系对静止参照系速度的合成，即
,
由上述两方面可得 ．
、如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子上，以恒定的速度拉绳，当绳与竖直方向成角时，求线轴中心的运动速度．设线轴的外径为，内径为，线轴沿水平面做无滑动的滚动．
分析与解当线轴以恒定的速度拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度到轴心速度，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上点与轴上点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图是轴上点与绳上点速度矢量图：轴上点具有与轴心相同的平动速度及对轴心的转动速度（为轴的角速度），那么沿切向轴上点的速度为；而绳上点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度，于是有关系式，即
．
又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点的速度为零，则轴心速度为
，
由以上两式可解得

若绳拉线轴使线轴逆时针转动，．
、如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端点速度为，方向水平．以铰链固定于点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为和．试确定木板的角速度与角的关系．
分析与解设木板与线轴相切于点，则板上点与线轴上点有相同的法向速度，而板上点的这个法向速度正是点关于轴的转动速度，如图所示，即

现在再来考察线轴上点的速度：它应是点对轴心的转动速度和与轴心相同的平动速度的矢量和，而是沿点切向的，则点法向速度应是
．
又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有
．
将、两式代入式中，得
．
、线轴置于斜面上，斜面与水平面的夹角为。线的自由端固定住（如图）．线绳为垂直线时的瞬间线轴的旋转角速度等于，线轴的半径为．求在这瞬间的：
、线轴轴心的速度；
、线轴与斜面相切点的速度．
分析和解：本题中由于线绳不能伸长，所以垂直线最下面的点和与其相接触的线轴上的点的速度相同，的方向是水平方向．线轴的运动由两个运动合成：平行于斜面的直线运动，其速度为；绕轴心的顺时针转动，其角速度等于。
在题中情况下, 点的速度（图）等于

不难看出，，且，由此可得

同理可以求出线轴与斜面相切点的速度（图)

其速度在斜面方向的投影为

将代人得

、轮子在直线轨道上作纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮线．设轮子半径为，轮子边缘点对应的滚轮线如图所示，试求此滚轮线在最高点曲率半径和在最低点曲率半径.
解 为计算、，可将轮子的滚动设计为最简单的匀速纯滚动，并将轮心相对直线轨道的匀速度记为．
点相对直线轨道的运动速度等于点相对轮心运动速度与轮心相对直线轨道运动速度之和，在最高点这一速度大小应为
在最低点这一速度大小则降为 。
点相对直线轨道的加速度等于点相对轮心的加速度，与轮心相对直线轨道的加速度之和，后者为零，故有
即为匀速圆周运动的向心加速度，方向随时变化，大小恒为 ,
在最高点和在最低点的显然全部用作向心加速度，因此同有
据算式，可得

、一块小木块放在很粗糙的水平面上，被一根绳拉着滑动，绳的另一端以速度在轨道中运动，绳长，绳与轨道的夹角是（如图）．求此时的速度和加速度．
解：由于水平面很粗糙，不沿绳方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此的速度一定沿绳的方向，那么的速度
现取为参考系，因为无加速度，所以在系中的加速度等于在地面系中的加速度。

在系中，有一个垂直于的速度。

因为很小，所以，，因此
因此
、如图所示，物体质量为，吊索拖着沿光滑竖直杆上升，吊索通过滑轮与卷扬机相连，收吊索的速度为，滑轮到竖直杆的距离为，滑轮在水平杆上向右以速度运动。求左边吊索恰好竖直，绳与水平方向成角时，吊索中的张力是多少？
解法一、 这是一个比较复杂的运动，将此运动看成两个运动的合成：一个是滑轮不动，卷扬机以速度收吊索；另一个是段吊索长度不变，滑块以向右运动。第一个运动使滑块得到了一个速度
第二个运动使滑块得到另一个速度
的真实速度
将的速度分解成沿吊索方向的分量和垂直吊索方向的分量

速度的垂直于吊索的分量
所以相对于垂直于吊索方向的速度

物体的向心加速度
分析的受力情况可知

联立，即可求得
解法二、 以滑轮为参照物，物体速度可看成水平方向的速度和竖直方向的速度的合成，卷扬机虽然也有向左的速度，但不影响吊索的速度，所以物体沿吊索方向的速度亦为.即
得
速度垂直吊索的分量
以下同解法一。
四、物理学中特殊的曲线运动
物理学中特殊的曲线运动主要有两类，即圆周运动和抛体运动，其中抛体运动轨迹的曲率半径是随时变化的，所以在考虑抛体运动时，如果要计算向心加速度，则必须通过有关运动的计算得出曲率半径才能求解。
、以速度、与水平方向成角抛出石块，石块沿某一轨道飞行．如果蚊子以大小恒定的速率沿同一轨道飞行．问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计．
分析和解：蚊子的运动实际上是匀速率曲线运动．它的加速度就是它运动到不同位置时的向心加速度．关键在于求出最大高度一半处时的曲率半径．我们可以根据轨道方程，求出曲率半径．现在我们根据石块的运动来求曲率半径．石块的运动为斜上抛运动，它到达的最大高度为
设在处，速度与水平方向成角．运动速度关系为
， 故有
由以上四式得
将加速度分解为法向和切向方向得
根据向心加速度公式，
得
蚊子以的恒定速率沿石块的轨迹运动，蚊子在粤处曲率半径仍为石块运动到此的曲率半径，但切向加速度为，法向加速度，蚊子的加速度等于该处的法向加速度．

即为蚊子飞到最大高度一半处具有的加速度．
、用几何方法确定曲线的曲率半径。在同一平面上有两质点和。质点沿方向以恒速运动，质点以不变速率追逐运动()。某一时刻到达图所示位置，、相距为，。设追逐的过程中，速度始终指向质点。我们来确定图示位置质点运动的曲率半径。
解：我们假设经过很短时间，质点达，
;
质点达， 。
切于质点运动轨道的点，切于点。过点作垂线，过点作垂线交于点，即为所求之曲率半径。由图中得

所以有关系

得到

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