高中物理必修二曲线运动讲义.doc

曲线运动
一.曲线运动
1.运动性质——变速运动，加速度一定不为零 2.速度方向——沿曲线一点的切线方向
3.质点做曲线运动的条件
（1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。
（2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线
二.抛体运动：只在重力作用下的运动.
特殊：平抛运动1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动.
2.性质:是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.
3.平抛运动的研究方法
(1)平抛运动的两个分运动:水平方向是匀速直线运动,竖直方向是自由落体运动.
(2)平抛运动的速度
水平方向: ; 竖直方向:
合速度: （求合速度必用） ,方向:
(3)平抛运动的位移
水平方向水平位移： 竖直位移：sy=gt2
合位移：（求合位移必用） 方向：tgφ＝
4.平抛运动的轨迹:抛物线；轨迹方程：v0
v1
v2
v1y
v2y
△v
图5-2-3
运动时间为,即运行时间由高度h决定,与初速度v0无关.水平射程,即由v0和h共同决定.
相同时间内速度改变量相等,即△v=g△t, △v 的方向竖直向下.
三. 圆周运动
a.非匀圆周运动：合力不指向圆心，但向心力（只是合力的一个分力）指向圆心。
b.1.匀速圆周运动(1)运动学特征: v大小不变,T不变,ω不变,a向大小不变; v和a向的方向时刻在变.匀速圆周运动是变加速运动.(2)动力学特征:合外力（向心力）大小恒定,方向始终指向圆心.
基本公式及描述圆周运动的物理量
(1) 线速度 方向:质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向.
大小: (s是t时间内通过的弧长).
(2)角速度 大小: (单位rad/s),其中φ是t时间内转过的角度.
(3)周期 频率
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数,叫做频率,也叫转速.单位:Hz.
(4) v、ω、T、f的关系
,,
(5)向心加速度（状态量） 物理意义:描述线速度方向改变的快慢.
大小:
方向:总是指向圆心即方向始终在变.所以不论a的大小是否变化,它都是个变化的量.
3.向心力F（状态量，只看瞬时对应的各个物理量即可求得数值，不需过多考虑）
①作用效果:产生向心加速度,不断改变质点的速度方向,而不改变速度的大小.
②大小:
③匀速圆周运动的向心力就是合外力,而在非匀速圆周运动中,向心力是合外力沿半径方向的分力,而合外力沿切线方向的分力改变线速度的大小.
4.质点做匀速圆周运动的条件:
(1)质点具有初速度; (2)质点受到的合外力始终与速度方向垂直;
(3)合外力F的大小保持不变,且 若,质点做离心运动;若,质点做近心运动; 若F = 0,质点沿切线做直线运动.
基本模型 问题与方法
图5-1-7
θ
v
一.绳子与杆末端速度的分解方法
绳与杆问题的要点，物体运动为合运动，沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的运动为分运动。例题：1.如图5-1-7岸上用绳拉船，拉绳的速度是,当绳与水平方向夹角为θ时，船的速度为v/cosθ

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二.小船过河最值问题（合运动为船的轨迹）
1．渡河最少时间：在河宽、船速一定，水速任意时，
渡河时间（垂直位移比垂直速度）　，合运动（船的轨迹）沿v的方向进行。
2．渡河最小位移
v水
v船
θ
v
若 船头偏向上游的角度为渡河时间（垂直位移比
垂直速度）　，最短位移为d 。.
v水
θ
v
α
A
B
E
v船
若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，α角越大，船漂下的距离x越短，根据船头与河岸的夹角应为，船最短距离为： 渡河时间（垂直位移比垂直速度） 附加：没有船速小于或等于水速时，渡河最短位移=d河宽的情况
渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；
②船速v2小于水流速度vl时，即v2条件:v≥v.0
③不能通过最高点的条件:v< v0，物体到达最高点之前就脱离了圆轨道.
（2）轻杆模型 物体可以做匀速圆周运动情况
v
m
v
m
图5-3-5
①临界条件:由于硬杆或管壁的支撑作用,小球能到达最高点的临界速度v临＝0,轻杆或轨道对小球的支持力:N=mg

②当最高点的速度v＝时,杆对小球的弹力为零.
③当0时,杆对小球有拉力（或管的外壁对小球有竖直向下的压力）：
F＝－mg，而且：v↑→F↑
四：水平面内做圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度w变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势，这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪，特别是一些静摩擦力，绳子的拉力等。
五：生活中的一些圆周运动
1、（汽车）火车转弯问题
A:左右轨道水平时，侧向的摩檫力提供向心力。B：内侧轨道低于外侧时，速度适中时重力与支持力合力提供向心力。当速度过大时，外轨道阻止火车做离心运动，火车对外侧轨道有压力；当速度过小时，内轨道阻止火车做近心运动，火车对内轨道有侧压力。
2. 、汽车过拱形问题 凸形桥：mg－F支＝ma＝ 合力（向心力、加速度）向下，失重
凹形桥：F支－mg＝ma＝ 合力（向心力、加速度）向上，超重
3.、航天器中的失重现象 完全失重时，压力为零。
4、.同轴传动 皮带传动

5、圆锥摆

6、平抛模型. 一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A． B．
C． D．
A、 对于抛向斜面的物体，应分解物体运动的速度，所以位移之比为：
B、 对于由斜面抛出落在斜面上的物体，应分解位移 所以 ，时间
7、 向心力F加速度a都是状态量，只看瞬时对应的各个物理量即可求得数值。
例：小球到底部速度V ，环半径为R，求其加速度，直接由公式
即可。
典型题目
1．【2012•无锡期中】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示。人顶杆沿水平地面运动的s－t图象如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法中正确的是 （ ）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8m/s
D．t＝2s时猴子的加速度为4m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度vy＝8m/s、加速度a＝-4m/s2的匀减速直线运动，水平方向为速度vx＝4m/s的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，ax＝-4m/s2，ay＝0m/s，则合加速度为-4m/s2，选项C错误，选项D正确。
2．【2012•河南期中】一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h，探照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点转动的线速度为。设云层底面上光点的移动速度为v，则有vcosθ=，解得云层底面上光点的移动速度v=，选项C正确。
3．【2012•重庆联考】如右图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是 （ ）
（1） A、B的线速度相同
B．A、B的角速度不相同
C．轻杆转动的角速度为
D．小球A的线速度大小为
【答案】C
【解析】同轴转动，角速度相同，选项B错误。设图示时刻杆转动的角速度为ω。对于B点有。而A、B两点角速度相同，则有，联立解得，故选项C正确。
4．【2012•河北摸底】现在城市的滑板运动非常流行，在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别从杆的上下通过，如图所示，假设人和滑板运动过程中受到的各种阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍落在滑板原来的位置上，要使这个表演成功，运动员除了跳起的高度足够外，在起跳时双脚对滑板作用力的合力方向应该(　　)
A．竖直向下 B．竖直向上
C．向下适当偏后 D．向下适当偏前
【答案】A
图5
【解析】由于运动员最终仍落在滑板原来的位置上，所以运动员和滑板在水平方向上的运动不变，双脚对滑板作用力的合力只能沿竖直方向，由题意可以判断应竖直向下，选项A正确．
5．【2012•辽宁期末】 一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动，如图5所示，其中A点是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A点的切线和法线，已知该过程中物体所受到的合外力是恒力，则当物体运动到A点时，合外力的方向可能是（ ）
A．沿或的方向 B．沿或的方向
C．沿的方向 D．不在MN曲线所决定的水平面内
【答案】C
【解析】物体做曲线运动，必须有指向曲线内侧的合外力，或者合外力有沿法线指向内侧的分量，才能改变物体运动方向而做曲线运动，合力沿切线方向的分量只能改变物体运动的速率，故、的方向不可能是合外力的方向，只有、、才有可能，故选项A、B是错误的，选项C是正确的，合外力方向在过M、N两点的切线夹角之内的区域里，若合外力不在MN曲线所决定的平面上，则必须有垂直水平面的分量，该方向上应有速度分量，这与事实不符，故合外力不可能不在曲线MN所决定的水平面内，选项D是错误的，故本题正确答案为选项C。

θ
L
6．【2012•江苏模拟】一小球自长为L倾角为的斜面底端的正上方水平抛出如图所示，小球恰好垂直落到斜面中点，则据此可计算( )
A.小球在落到斜面时的重力的功率
B.小球平抛过程重力势能的减少量
C.小球抛出点距斜面底端的高度
D.抛出小球时小球的初动能

【答案】C
【解析】由末速度方向可知，此时水平速度
与竖直速度的关系，即tanθ= v0/ vy ，vy = v0/ tanθ=gt
而，所以，故平抛的时下落的高度为；又因
小球落地点距斜面底端的高度的高度为，所以选项C正确．
7．【2012•福建期末】如图所示，一长为的木板，倾斜放置，倾角为，今有一弹性小球，自与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板夹角相等，欲使小球恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设小球释放点距木板上端的水平距离为，由几何关系可知，，所以下落高度为，根据自由落体运动规律，末速度，也就是平抛运动的初速度，设平抛运动的水平位移和位移，分别为和，因，所以，由平抛运动规律
，联立解得，由题意可知，解得，所以选项D正确．
8．【2012•福建期末】在我国乒乓球运动有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，在2008年北京奥运会上中国选手包揽了四个项目的全部冠军．现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L、网高h，若球在球台边缘O点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度发出，如图1－3－15所示，球恰好在最高点时刚好越过球网．假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g)(　　)
A．球的初速度大小
B．发球时的高度
C．球从发出到第一次落在球台上的时间
D．球从发出到被对方运动员接住的时间
【答案】ABC
【解析】根据题意分析可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有对称性，显然发球时的高度等于h，从发球到运动到P1点的水平位移等于L，所以可以求出球的初速度大小，也可以求出球从发出到第一次落在球台上的时间．由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间．
9．【2012•四川摸底】如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是(　　)
A．t1＞t3＞t2　　　　　　 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C. t1′＞t2′＞t3′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【答案】AB
【解析】设三小球在高为h的同一高度处．由静止释放三小球时
对a：＝gsin30°·t12，则t12＝. 对b：h＝gt22，则t22＝.
对c：＝gsin45°·t32，则t32＝.，所以t1＞t3＞t2.
当平抛三小球时：小球b做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况；小球a、c
在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′、t2＝
t2′、t3＝t3′.故选A、B.
10．【2012•湖北联考】如图为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图1－3－21所示．它们的竖直边长都是底边长的一半．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是(　　)
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
【答案】D
【解析】如图所示，由于小球在平抛运动过程中，可分解为
竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由
于竖直方向的位移为落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，A错误；而速度的变化量Δv＝gt，所以落在c点的小球速度变化最小，B错误；三个小球做平抛运动的加速度都为重力加速度，故三个小球飞行过程中速度变化一样快，C错误；因为平抛运动可等效为从水平位移中点处做直线运动，故小球不可能垂直落到左边的斜面上．假设小球落在右边斜面的b点处的速度与斜面垂直，则tan θ＝＝，由于两斜面的竖直边是底边长的一半，故小球落在左边斜面最低点处时，因为2x＝v0t，x＝t，所以vym＝v0，而vy≤vym，所以tan θ＝≥1，与假设矛盾，故在右边斜面上，小球也不可能垂直落在斜面上，D正确．
11．【2012•安徽联考】如右图所示，质量为m的小球置于立方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间作用力恰为mg，则 （ ）
A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于
C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于3mg
D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于3mg
【答案】B
【解析】要使在最高点时盒子与小球之间恰好为mg，则盒子顶部对小球必然有向下的弹力mg，则有，解得该盒子做匀速圆周运动的速度，该盒子做匀速圆周运动的周期为，选项A错误，选项B正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由，解得F＝3mg，选项C、D错误。

12．【2012•重庆模拟】如图1所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是( )
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速率圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
【答案】D
【解析】在烧断细线前，A、B两物体做圆周运动的向心力均是静摩擦力及绳子拉力的合力提供的，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为两个物体在同一圆盘上随盘转动，故角速度ω相同．设此时细线对物体的的拉力为T，则有
当线烧断时，T=0，A物体所受的最大静摩擦力小于它所需要的向心力，故A物体做离心运动．B物体所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等为止，故B物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．
13.【2012•四川期末】如图所示，一只小球在固定的竖直平面内的圆环内侧连续做圆周运动，当它第4次经过最低点时速率为7m/s，第5次经过最低点时速率为5m/s，那么当它第6次经过最低点时速率应该为(在所研究的过程中小球始终没有脱离圆周轨道) (　　)
A．一定是3m/s
B．一定是1m/s

C．一定大于1m/s
D．一定小于1m/s
【答案】C
【解析】因为圆周运动的速度减小，所以N减小，所以f减小．故Ek4－Ek5>Ek5－Ek6，即49－25>25－Ek6，解得v6>1m/s。所以本题只有选项C正确。
14.【2012•河南期中】如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r = 0.1 m处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数为= 0.8，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过（ ）
A．2 rad/s B．8 rad/s C．rad/s D．rad/s
【答案】A
【解析】只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，设其经过最低点时所受静摩擦力为f，由牛顿第二定律有（①式）；为保证不发生相对滑动需要满足（②式）。联立解得2 rad/s，选项A正确
15．【2012•福建期末】如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则(　　)
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
【答案】CD
图
17.【2012•浙江模拟】一轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力），如图所示。当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动。若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ ）
A.小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B.小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C.小球在最低点对轻杆的作用力先增大后减小
D.小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
【答案】B
【解析】设轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg－F=m,当轻杆对小球的作用力大小F＝mg时，小球的速度最小，最小值为零。所以A错。由mg－F=m可得在最高点轻杆对小球的作用力F＝mg－m,若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先减小后增大(先为支持力后为拉力).由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大。因此选项B正确。在最低点，由F－mg=m可得轻杆对小球的作用力(拉力)F＝mg＋m,若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的作用力(拉力)一直增大。选项C错。轻杆绕水平轴在竖直平面内运动, 小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心,只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心。选项D错。
19．【2012•湖南四市联考】图为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成。物品从A处无初速放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的转盘，设物品进入转盘时速度大小不发生变化，此后随转盘一起运动(无相对滑动)到C处被取走装箱。已知A、B两处的距离L=10m，传送带的传输速度=2.0m/s，物品在转盘上与轴O的距离R=4.0m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.25。取g=10m/s2。
（1）求物品从A处运动到B处的时间t；
v
A
B
C
O
R
水平传送带
水平转盘
物品
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力可视为与滑动摩擦力大小相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大?
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设物品质量为m,受到摩擦力而匀加速运动,有：

得：
故还要匀速运动：

所以：
（2）物品在转盘上所受静摩擦力提供向心力，最小时达最大静摩擦力，有：
（
得：
20．【2012•浙江摸底】如图所示，一位质量m=60kg参加“江苏调考在一次消防逃生演练中，队员从倾斜直滑道AB的顶端A由静止滑下，经B点后水平滑出，最后落在水平地面的护垫上（不计护垫厚度的影响）。已知A、B离水平地面的高度分别为H=6.2m、h＝3.2m，A、B两点间的水平距离为L=4.0m，队员与滑道间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10m/s2。求：
H
h
A
B
L
⑴队员到达B点的速度大小；
⑵队员落地点到B点的水平距离；
⑶队员自顶端A至落地所用的时间。
【答案】（1） （2）
（3）t= t1+ t2=2.47s
【解析】（1）设滑道的长度为LAB，倾角为θ，根据动能定理 有

（2）根据平抛运动的公式 有
，
得水平距离
（3）设在滑道上运动的时间为t1，加速度为a，根据牛顿第二定律 有

得=3.6m/s2
根据运动学公式 有
得t1=s=1.67s ，t2=0.80s
运动的总时间t= t1+ t2=2.47s
23. 【2012•湖北百校联考】如图所示，水平传送带AB的右端与在竖直面内的用内径光滑的钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小.传送带的运行速度，将质量m=1kg的可看做质点的滑块无初速地放在传送带的A端.已知传送带长度L= 4.0 m，离地高度h=0.4 m，“9”字全髙H= 0.6 m，“9”字上半部分圆弧半径R=0.1 m，滑块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度g=10 m/s2，试求：
(1) 滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间.
(2) 滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向.
(3) 滑块从D点抛出后的水平射程
【答案】（1）2s （2）F=30N （3）1.1m
【解析】(1) 滑块在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律知：μmg=ma，

由HD=gt‘2解得t‘==0.4s。
故水平射程x= vD t‘=1.1m。
v0
vt
vx
vy
h
s
α
α
s/
图5-2-4