高中物理问题的数学方法.doc

高中物理问题与数学方法
（国际中文核心期刊《中国现代教育论坛》发表 洪奇标）
内容提要：
物理问题的解决有赖于数学知识的掌握和熟练运用，而灵活的数学方法与独到运算技巧往往为复杂的物理问题的解决提供了快捷、简便的窍门。如何培养和发展学生的物理学科思维能力，有赖于在长期的习题训练中，使学生学会整合物理科与数学科及其它相关学科的知识，寻找有用的信息和方法，并运用学过的知识去分析、解决实际问题的过程中，用心钻研和总结解决各种物理问题的思路和方法，才能逐步提高。本文在此仅对高中物理问题解题方案中的常用的数学方法与解题技巧浅作介绍，望能为正在进行紧张复习并即将面临高考的莘莘学子们起到启迪的作用。
关键词.：物理问题 解题方法
一、代数法
代数法解决物理问题又分为若干种技能技巧：
1、联立方程组解答物理问题
典型例题：如图所示 ,两端封闭的内径均匀的直玻璃管内，有一段水银柱将两种气体a和b 隔开将管竖立着，达到平衡时，若温度为T，气柱a和b的长度分别为La和 Lb ,若温度为T / ，长度分别为La/和Lb/ 。然后将管平放在水平桌面上，在平衡时，两段气柱长分别是La// 和Lb//。已知T、T/、La、La/、Lb、Lb/ ,求La// /Tb//。
分析：这是一道高考题，其物理过程分列式并不难，但做数学联立解答时，由于方程多，
往往不易熟练解出正确答案。为此平时要多练，尤其要多练比例法，最终才使本题在Pa、Pb、Pa/、Pb/、H及Pa//、Pb//都不知情的情况下能得出答案。
解答：对a段气体有： ①
②
对b段气体有：
③ ④ 另有压强关系： ⑤
⑥ ⑦，由⑤、⑥消去h得： ⑧
化①、②、③、④得：、、、的值，代入⑧中，且由⑦整理得：

2、运用一元二次方程判别式解答物理问题
在不少情况下，不一定能显然地得出一元二次方程标准式，但只要有这样的可能性，则就要做倾向性的代换、变形和组合，才有可能最终整理成功一元二次方程式，也许此
时的系数a、b、c都分别是较为复杂的多项式，但用判别式也正当其时了。
典型例题：凸透镜焦距为f，物体与成像屏幕之间的距离为L ，当L 至少为多大时，才能在屏幕上呈现清晰的像？
解答：由透镜成像公式 ① 依题意得 ②
联立①、②得 ③ ； 式③是一个关于像距的一元二次方程，为使屏上出现清晰的像，须为实数，由得，即
3、用二元二次方程组解答物理问题
对于某些需要综合运用动量守恒定律与动能定理联合解决的物理问题，则可考虑通过运用动量守恒定律与动能定理分别列出二元一次方程和二元二次方程组成方程组求解。在联立方程的时候，设法将二元二次方程通过特定的关系处理成二元一次方程后，再次联立方程解答。
典型例题：试求质量为、速度为的物体和质量为、速度为的物体相碰撞后的速度。假设碰撞后动能没有损失。
解答：由于碰撞后没有动能损失，那么碰撞前后动量守恒，能量也守恒。那么有：
① ； ②
由①得： ③； 由②得： ④
式④除以式③得； ⑤；
联立①、⑤组成二元一次方程组再求解就方便多了，可以的到：

4、运用合、分比定理解答物理问题
物理学中经常遇到分量之间，某一分量之间的比例计算和换算问题，因此常用到数学中的合比及分比定理。在形如的比例关系中，如果a和b，c和d是同一物理量，则可根据分比定理和合比定理解答。
定理：如果a、b、c、d均不为零，当时，则有：
（合比定理）； （分比定理）；
典型例题：例1：如图所示装置，水银柱将气体、分隔成两部分。开始时的温度为10C，的温度为20C，水银柱静止，求下列情况下，水银柱移动的方向。
⑴、的温度都升高10C。 水银
⑵、的温度都降低10C。
⑶的温度升高10C，的温度升高20C。
解：⑴ 、变化前的压强为p、绝对温度为T，升高10C后的压强为，绝对温
度为，假设、均发生等容变化，对气体、分别用查理定律，由得：
对于有： ①
对于有： ②
比较①、②：因为，所以水银柱向方向移动。
⑵对于同理可得： ③
对于同理可得： ④
比较③、④：因为，所以水银柱向方向移动。
⑶对于同理可得： ⑤

对于同理可得： ⑥
比较⑤、⑥，因为：，所以水银向着方向移动。
例2：将电阻接到恒压电源上，功率为；将电阻接到同一恒定电源上，功率为。那么将、串联后接到同一恒定电源上，总功率为多少？
A、+ B、 C、 D、
解：根据可知，电压一定时功率和电阻成反比，则有： ①
设两电阻串联后接到恒压电源上，功率为P，则有： ②
由合比定理整理①得： ③
联立②、③解得：，
故正确选项为D
5运用指数和对数知识解答物理问题
典型例题：在一原子反应堆中，用石墨（碳）做减速剂使快中子减速。已知碳核质量是中子质量的12倍，假设把中子与碳核的每次碰撞都看作是弹性正碰撞，而且认为碰撞前碳核都是静止的。（、）
⑴没碰撞前中子的动能是，问经过一次碰撞中子损失的能量是多少？
⑵至少经过多少次碰撞，中子动能损失小于？
解答：⑴设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为，碰撞后中子和碳核的速度分别是和V，根据动量守恒定律得： ① ，
又由于动能守恒，则有： ②
联立①、②解得： ③ 把③代入①德： ④
已知M=12m，代入④得 ⑤
算得一次碰撞时中子损失能量为：
⑵E1、E2······En分别表示中子第1次、第2次······第n次碰撞后的动能，由⑸得：
⑥ …… ⑦
已知：。代入上式得： ，
即：
两边取对数得： ，将和的值代入上式得：
故需要至少经过42次碰撞，中子动能才能小于
二、几何法
我国的高考经过多年的理论研究和实践，命题思想、题型题量都有了很大的变化，近几年的高考，考查的重点主要放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在掌握分析问题的方法和解决问题的能力上。而许多担负考查能力的高考题，都要用到几何方法，对于这类问题，如果我们仅仅是列出物理的关系式，而看不出问题的几何关系式，最终就无法解出这道物理题。在这里通过一典型例题，探讨运用几何原理解决物理问题的方法。
典型例题：
如图所示，跨过定滑轮的绳子一端连结在质量为m的物体上，另一端连接在质量为M的物体上，M套在光滑的直杆中，可以自由滑动。开始时，连接M、m的绳子成水平状态，其水平段的长度为S，放手后M下落并通过连接绳子向上提起m，当M下落高度为h时，物体m的速度为多大？
解答：作出求解长度关系式和速度分解关系式的
几何图如下： ①
由于，
所以： ②
由机械能守恒定律再得：
③
联立①、②、③得：
三、三角函数法
典型例题：光线从空气斜射到玻璃砖的一个平面上，再从另一平面射出，试证出射光线跟入射光线平行，并求出射光线对入射光线的平移。
解答：如图，n为玻璃对空气的折射率，玻璃砖厚为h，入射角I，EF、FG和GH分别代表入射光线、折射光线和出射光线。应有：
① ①×②=1
② 即： 又因为
所以 或，那么侧移FI=a
即：

四、极值法
⑴用配方法求物理问题的极值
典型例题：把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？
解：由得： ①
得：
讨论：当时，
⑵应用二次三项性质求物理问题的极值（以上题为例）
把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？
解：由得： ①
将二次三项式： ② 与之对照得：
、 、 c = 0 因为,故当涵数有极大值：
；也即当时，有极大值：
⑶用不等式性质求物理问题的极值（以上题为例）
把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？
解：将中的q和视作x，(Q-q)视作y，而、。由、
得：，现属于（定值）
故当x=y时有：，亦即当q=(Q-q)，时有：
，此式算得：
⑷利用一元二次方程的判别式求物理问题的极值（以上题为例）
把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥力，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？
解：如果有实数根，则：
由得： ①
整理①得： ②；由②有：、、。
那么：，即：，解得：
结合题意：
解得： 。
⑸应用有关三角涵数知识求物理问题的极值
典型例题：
如图所示，斜面倾角为，摩擦系数为，物体在力F的作用沿斜面向上运动，加速度为a，问至少需要多大的外力？
解：由得：

整理得： ，求出
最大值，便可算得F的极小值。为此得：

当时，有极大值，
故得：
⑹应用数列性质求物理问题的极值
典型例题：线段AB长为S，均为n等份，一质点由A出发，以加速度向B作匀加速度运动，当质点到达每一等份的末端时，它的加速度增加，试证质点到达B点时的速度是：
。
证明：， ， ，

· · · · · ·

⑺应用图象（线）法求物理问题的极值
例1：一观察者站在列车第一节车厢的前端，列车从静止开始做匀加速运动。第一节车厢驶过他身边所用的时间为，设每节车厢等长，求第n节车厢驶过他身边需要多少时间？（车厢之间的距离不计）
解：作出列车的速度—时间图象，设列车加速度为,
每节车厢长为，如图所示，，
即： ①，
又由运动学公式得： ②，
同理： ③， ④
将②、③、④代入①解得：
在学习过程中，要明白单纯的知识积累是次要的，形成能力才是主要的，因此培养和发展学科思维能力，掌握研究物理问题的思路和方法，比单纯掌握知识更重要。培养和发展学科思维能力，就是为了能运用所学的知识去解决各种实际问题，并在不断地解决实际问题的过程中，用心钻研、总结和归纳解决各种物理问题的思路和方法，逐渐形成灵活的解题技巧，提高自己的应试能力和实际能力。