九年级上册数学《二次根式》知识点整理.doc

二次根式
一、本节学习指导
学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点
1、二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2、取值范围
（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
3、二次根式（a≥0）的非负性
（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，即0（a≥0）。
注意：因为二次根式（a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
4、二次根式的性质：（a≥0）
描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则，如：，。
5、二次根式的性质

描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：
（1）、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、与的异同点
1、不同点与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，（a≥0） ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，=；a＜0时，无意义，而。
7、二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、经验之谈：
特别要注意这个式子：，这个运算过程是区别于的依据。
本节中还要注意根式的运算，有很多同学错误的以为：，根式的加减法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：，而目前我们只能估算，或是就保持最简因式。
本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有
一元二次方程解法
一、本节学习指导
一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。所以本节我们要多做练习，多思考，多积累。在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。
二、知识要点
1、 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）

2、 配方法
步骤：（1）二次项系数化为1
（2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方
（3）化简整理，再用直接开平方法解方程

3、公式法

4、 因式分解法
方法：将式子左边进行因式分解，右边为0

5、十字相乘法（特殊的因式分解）
方法：形如的式子，可化为

三、经验之谈：
有一点我要提醒一下大家，解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，浪费了很多时间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算起来实在太麻烦。其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。有句话说：“笨鸟先飞嘛”！
图形的旋转
一、本节学习指导
本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质
① 旋转后的图形与原图形全等
② 对应线段与O形成的角叫做旋转角
③ 各旋转角都相等
3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4、平移性质
① 平移后的图形与原图形全等
② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
③ 各组对应线段平行且相等
5、中心对称与中心对称图形
① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形
(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分
（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换
（1）、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为
P＇（-x，-y）
（2）、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）
（3）、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）
（４）、关于直线y＝x对称
两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线
y＝x的对称点为P＇（y，x）
（5）、两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）
注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。

三、经验之谈：
本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。

圆知识点总结
圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。
包括性质定理与判定定理及公式。
一 集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二 轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于
定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
相等的一条直线
三 位置关系：
1点与圆的位置关系:
点在圆内 dr 点A在圆外
2 直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交 dR+r
外切（图2） 有一个交点 d=R+r
相交（图3） 有两个交点 R-r
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中
2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD

五 圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④

六 圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°
∴∠C=90° ∴AB是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的
一半的逆定理。
七 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
八 切线的性质与判定定理
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切
线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
九 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=

（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=

（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=

十、圆的有关概念
1、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质
2、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质

3、圆的对称性。→
十一、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2r, l=
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S圆=r2 ，
S扇形= S圆锥=
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换
十二、侧面展开图：
①圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；
②圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个
圆锥的底面的 。

十三、正多边形计算的解题思路：
正多边形等腰三角形直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。

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