深圳市近十年中考数学试题分类汇编10圆(含解析).doc

2002年-2012年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编
专题10：圆
一、选择题
1.（深圳2003年5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是【 度002】
A、△AED∽△BEC B、∠AEB=90º
C、∠BDA=45º D图中全等的三角形共有2对
A
D
O
E
B
C
【答案】 D。
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的判定。
【分析】A、根据圆周角定理的推论，可得到：
∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED，正确；
B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD，有，从而根据等弧所对圆周角相等的性质，得∠EBC=∠ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得BE=CE，∴BE=CE=3，AB=5，AE=AC－CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；
C、AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；
D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对，错误。故选D。
2.（深圳2004年3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则这两圆的位置关系是【 度002】
A、相交 B、相切 C、内含 D、外离
【答案】D。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则3+4=7＜8，∴两圆外离。故选D。
·O
B
C
M
D
A
3.（深圳2004年3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB=8cm，M是AB的中点，CM：MD=1：4，则CD=【 度002】
A、12cm B、10cm C、8cm D、5cm
【答案】B。
【考点】相交弦定理。
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：
∵CM：DM=1：4，∴DM=4CM。
又AB=8，M是AB的中点，∴MA=MB=4。
由相交弦定理得：MA•MB=MC•MD，即4·4=MC•4MC，解得MC=2。
∴CD=MC+MD=MC+4MC=10。故选B。
4.（深圳2004年3分）圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切圆于C，若∠BCD=120º，则∠BCE=【 度002】
·O
B
C
E
D
A
F
A、30º B、40º C、45º D、60º
【答案】A。
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，弦切角定理。
【分析】由弦切角定理可得：∠BCE=∠BAC；因此欲求∠BCE，必先求出∠BAC的度数．已知∠BCD=120°，由圆内接四边形的对角互补，可得出
∠BAD=60°，而AC平分∠BAD，即可求出∠BAC的度数。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD=180°－120°=60°。
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC= ∠BAD=30°。
∵EF切⊙O于C，∴∠BCE=∠BAC=30°。故选A。
4.（深圳2005年3分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，
若CE=2，则图中阴影部分的面积是【 度002】
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】扇形面积的计算
【分析】已知D、E是半圆的三等分点，如果连接DE、OE、OD，那么△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE=∠BOD，则AB∥DE，S△ODE=S△BDE；可知阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE＋S扇形ODE求解：
连接DE、OE、OD，∵点D、E是半圆的三等分点，
∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°。
∵OA=OE=OD=OB。
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形。
∴AB∥DE，S△ODE=S△BDE。
∴图中阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE＋S扇形ODE。故选A。
5.（深圳2009年3分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四
A

D
C
B

边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为【 度002】
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
【答案】B。
【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。
【分析】要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算：
由AD//BC和圆的对称性，知。
∵AC平分∠BCD，∴。∴AD=AB=DC。
又∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠ACD=∠DAC=30°。
∴∠BAC=90°，∠B=60°。∴BC是圆的直径，且BC=2AB。
∴根据四边形ABCD的周长为10cm可解得圆的半径是2cm。
由勾股定理可求得梯形的高为cm。
所以阴影部分的面积=（半圆面积－梯形面积）=（cm2）。故选B。
6．（2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【 】

A．6 B．5 C．3 D。
【答案】C。
【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。
∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长= =3。故选C。
二、填空题
1. （深圳2010年招生3分）右图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A（2 , 1) ，则图中两个阴影部分面积的和是 ▲ 度002
【答案】。
【考点】圆和双曲线的中心对称性，圆的切线的性质。
【分析】由题意，根据圆和双曲线的中心对称性，知图中两个阴影部分面积的和是圆的面积；由两个圆与x 轴相切和点A（2 , 1) ，知圆的半径为1，面积为，因此图中两个阴影部分面积的和是。
2.（深圳2011年3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦AB=cm，则
OA= ▲ cm.
【答案】2。
【考点】三角形内角和定理，弦径定理，特殊角三角函数值。
【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，∴∠OAB=30º。
又∵∠ADO=90º，AD=，
∴OA=。
三、解答题
1. （深圳2002年10分）阅读材料，解答问题
命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a、CA= b、AB=c，△ABC的外接圆半径为R，
B
C
A
D
c
b
a
O
则。
证明：连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A
∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90º。
在Rt△DBC中， ∵，
∴sinA=，即。
同理、。
∴
请你阅读前面所给的命题及证明后，完成下面（1）、（2）两小题
B
C
A
O
·
B
C
A
b
O
·
（1）前面的阅读材料中略去了“和”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来。

（1） （2）
（2）直接用前面阅读材料中命题的结论解题
已知，如图，在锐角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60º，求△ABC的外接圆的半径R及∠C。
【答案】证明：（1）连接CO并延长并⊙O于点D，连接DA，则∠B=∠D。
∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°。
在Rt△DAC中，sinD=，即sinD=。
∴sinB=，即。
（2）由命题结论知，
∵BC=，CA=，∠A=60º，∴，即。
∵△ABC是锐角三角形，∴∠B=45°。∴∠C=75°。
由得，∴R=1。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据已知的证明过程，同样可以把∠B和b构造到直角三角形中，构造直径所对的圆周角，是圆中构造直角三角形常用的一种方法，根据锐角三角函数进行证明。
（2）根据，代入计算。
P
x
y
B
C
O
D
A
E
F
G
2.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，
∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值。
【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。
设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得
，解得，，∴抛物线的解析式为y=。
（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，
则由弦径定理和圆周角定理，
∠BDC=∠BAH=∠BAC，
∴tan∠BDC=tan∠BAH= 。
（3）由（1）y= 得
点P的坐标为（5，）。
由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。
设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。
∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。
又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。
∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。
∴∠CGF=∠GDF+ ∠PFD=∠GDF+ ∠BDC=∠HDF=45°。
∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°= 。
【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）
（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+ ∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。
3.（深圳2004年12分）直线y=－x＋m与直线y=x＋2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B。
（1）求A、B、C三点的坐标；（3分）
y
C
·E
A
B
O
x
（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（4分）
（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）
【答案】解：（1）直线y= x+2中令x=0，得y=2，
∴C点的坐标为（0，2）。
把C（0，2）代入直线y=－x＋m，得m=2，
∴直线y=－x＋m解析式是y=－x＋2。
令y=0，得x=2，则A点的坐标是（2，0），
在y= x＋2中令y=0，得x=，则B的坐标是（，0）。
（2）根据A、B、C的坐标得到OC2，OA=2，OB=，根据锐角三角函数定义，得tan∠ABC=,∴∠ABC=30°。
又AC=。
连接AE，CE，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，边长是。
又在Rt△EAF中，AE=，AF=AB=，
∴EF=。
又OF=OA＋AF=。
∴点E的坐标为（，），半径是。
（3）分两种情况：
（I）当点P在⊙E外时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。
∵∠MQN=∠MAN=∠ANC－∠P=∠ABC－∠P=30°－θ，
∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，
即MN=sin（30°－θ）。
（II）当点P在⊙E内时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。
∵∠ACB=∠BCO－∠ACO=60°－45°=15°。
∴∠MQN=∠MAN=∠APB－∠ANB=∠APB－∠ACB =θ－15°。
∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，
即MN=sin（θ－15°）。
【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理，三角形外角定理。
【分析】（1）直线y= x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=－x＋m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出。
（2）根据三角函数可以求出角的度数。由OC、OA、OB的长度，根据勾股定理、等边三角形的判定和性质、弦径定理可求出点E的坐标和⊙E的半径。
（3）分点P在⊙E外和点P在⊙E内两种情况讨论即可。
4.（深圳2005年9分）AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。
A
O
D
B
H
E
C
（1）（5分）求证：△AHD∽△CBD
（2）（4分）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。
【答案解：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADH=∠CDB=900。
又∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=900。
∴∠HAD=900－∠ABE=∠BCD。
∴△AHD∽△CBD。
（2）设OD=x，则BD=1－x，AD=1＋x，
由（1）Rt△AHD∽Rt△CBD得，HD : BD=AD : CD，即HD : (1－x)=(1＋x) : 2， 即HD=。
在Rt△HOD中，由勾股定理得： HO==。
∴HD+HO=+=1。
特别，如图，当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO
重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）一方面，由直径所对圆周角是直角的性质和直角三角形两锐角互余的关系，可证得∠HAD=∠BCD；另一方面，由CD⊥AB得∠ADH=∠CDB=900，从而得证△AHD∽△CBD。
（2）设OD=x。一方面，由相似三角形对应边成比例的性质，可得HD=；另一方面，由勾股定理，可得HO=。从而求得HD+HO=+=1。
5.（深圳2006年10分）如图1，在平面直角坐标系中，点M在轴的正半轴上， ⊙M交轴于 A、B两点，交轴于C、D两点，且C为的中点，AE交轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE
(1)(3分)求点C的坐标.
(2)(3分)连结MG、BC，求证：MG∥BC
(3)(４分) 如图2，过点D作⊙M的切线，交轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

【答案】解：（1）∵直径AB⊥CD，∴CO＝CD，＝。
　　　　　　∵Ｃ为的中点，∴＝。∴＝。
∴CD＝AE。∴CO＝CD＝４。
∴Ｃ点的坐标为（０，４）。
（２）连接CM，交ＡＥ于点Ｎ，
设半径AM＝CM＝ｒ，则OM＝ｒ－２。
由OC＋OM＝M得：４＋（ｒ－２）＝ｒ，
解得，ｒ＝５。　　　　　　　　
∵∠AOG＝∠ANM＝９０°，∠GAO＝∠MAN，∴△AOG∽△ANM。∴。
∵由弦径定理，AN＝4，ＭＮ＝ＯＭ＝３，AO＝2，∴。∴ＯＧ＝。
　　　　　　∵，，∴。
　　　　　　又∵∠GOM＝∠COB，∴△GOM∽△COB。∴∠GMO＝∠CBO。∴MG∥BC。
（３）连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP。
　　　　　　∴DM＝MO·MP；DO＝OM·OP。
　　　　　　∴４＝３·OP，即OP＝。　　　　　　　　
当点Ｆ与点Ａ重合时：。
　　　　　 当点Ｆ与点Ｂ重合时：。　　　　　　　　
当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接OF、PF、MF，
　　　　　 ∵DM＝MO·MP，∴FM＝MO·MP。∴。
　　　　　　∵∠AMF＝∠FMA，∴△MFO∽△MPF。∴。　　　　　　　　
　　　　　　综上所述，的比值不发生变化，比值为。
【考点】弦径定理，圆周角定理，勾股定理，平行的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知，应用弦径定理和圆周角定理即可出点C的坐标。
（2）应用勾股定理、弦径定理和相似三角形的判定和性质可证得∠GMO＝∠CBO，从而根据同位角相等，两直线平行的判定得证。
（3）应用相似三角形的判定和性质，分点Ｆ与点Ａ重合、点Ｆ与点Ｂ重合和点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合三种情况讨论即可。
6.（深圳2008年8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，
cos∠BFA＝，求△ACF的面积．
【答案】解：（1）证明：连接BO，
∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。
∴△ABO为等边三角形。
∴∠BAO=∠ABO=60°。
∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。
又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。
（2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴ 。
又∵＝8，∴。
【考点】等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形，则
∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似
比的平方即可求解。
7.（深圳2009年10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，
点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

【答案】解：（1）⊙P与x轴相切。理由如下：
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8。
由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.。
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径。
∴⊙P与x轴相切。
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。
∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3∴PE=。
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB。
∴。∴。
∴。∴。∴。
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0，－－8)。∴k =－－8，
∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。
【考点】切线的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．
（2）根据正三角形的性质，分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。
8.（深圳2010年学业9分）如图1，以点M（－1，,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直
线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是
否存在一个常数，始终满足MN·MK＝，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．（3分）
x
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图1
x
y

D
A
B
H
C
E
M
O

图2
P
Q
x
y
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图3
N
T
K
y

【答案】解：（1）OE＝5，，CH＝2。
（2）如图，连接QC、QD，
则∠CQD=900，∠QHC=∠QDC。
又∵∠CPH=∠QPD， ∴△CPH∽△QPD。
∴，即，。
∵，∴。
（3）如图，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=900。
∴。
∵，∴。
∵，∴。
而，∴。
在△AMK和△NMA 中，，∠AMK=∠NMA ，
∴△AMK∽△NMA。
∴，即MN·MK=AM2＝4。
故存在常数，始终满足MN·MK＝，常数。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数定义，圆周角定理。
【分析】（1）连接MH。
在y＝－ x－ 中，令y＝0，则x＝5，∴OE＝5。
在y＝－ x－ 中，令x＝0，则y＝－ ，∴OF＝。
由勾股定理，得EF=。
∵M（－1，,0），∴EM＝4。
由△EMH∽△EFO，得，即，MH＝2。∴。
∴CE＝2。∴点C是Rt△EMH斜边上的中线。∴CH＝2。；
（2）连接QC、QD，由直径所对圆周角为直角，得∠CQD=900；由同弧所对圆周角相等，得∠QHC=∠QDC。从而可得△CPH∽△QPD，由相似三角形对应边的比，得。因此。
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由角的等量代换证得△AMK∽△NMA，即可得MN·MK=AM2＝4。从而得证。
9.（深圳2010年招生8分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，
( 1 ) ( 2 分）求证：MN 是半圆的切线，
2 ) ( 3 分）设D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG..
( 3 ) ( 3 分）若△DFG的面积为4.5 ，且DG＝3，GC＝4， 试求△BCG的面积．
【答案】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝900。
∴∠BAC＋∠ABC＝900。
又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。
∴MN⊥AB。
∴MN 是半圆的切线。
（2）∵D 是弧AC 的中点，∴∠CBD＝∠DBA。
∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD
又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。
∴∠DGF＝∠GDF。∴FD＝FG.。
（3）过点F作FH⊥DG于点H，
则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝。
∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。
又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。∴
∴。
【考点】圆切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质。
【分析】（1）要证MN 是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。
（2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的判定，即可得FD＝FG.。
（3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝。由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。
10（深圳2011年8分）如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的
中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB
并延长交⊙O于点E，连接AE.
图1 图2
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长
为4，求阴影部分面积之和.(保留与根号)
【答案】解：（1）证明：如图，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点，∴。∴CA＝CB 。
又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。
∴在△ABD中，CB=AD。 ∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。
∴AE是⊙O的直径。
(2) 如图，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°。
∵⊙O的半径为5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面积为25π 。
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
CE=
∴
∴
【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。
【分析】（1）要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。
(2) 求阴影部分面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。

11. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。
如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。
当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为：
。
【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。
【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。
则由△OAB∽△HMP，得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化简得。
解得。
（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。