初一数学组拓展性课程案例.doc

分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究
东林中学——初一年级组
关键词： 运用数学方法 分类讨论思想
实践研究的反思 教科研成果的引成
数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。
《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。
数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究
著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着
点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。“合理的联系”实践可表示为：

课程目标　
一、 根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。
二、 遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。
三、 进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。

课程实施

第1讲 分类讨论方法在绝对值中的应用
当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。
分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。其中的关键是确定分类的标准。
例1、化简 （为实数）。
分析：对于应分三种情况讨论：

解：原式
例2、化简 （为实数）。
解：分类：令，则,
原式
例3、化简：。
分析：先求界点。 由，得； 由，得。
借助数轴分类：

解：原式
例4、解关于的方程。
分析：由得， 显然为界点。
解：（1）当时，原方程的解为的一切实数；
（2）当时，原方程化为，
由得，矛盾舍去； 由得，
综上可见：时，原方程的解为的一切实数；
时，原方程的解为。

反思：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略，许多数学问题很难从整体上去解决，但只要将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个解决，分类讨论的思想实质上就是各个击破的策略。其思维过程是：
分析题意 确定分类 逐个解决 归纳总结

作业：
1、为实数，化简。

2、为实数，化简。

3、解关于的方程（为实数）。

答案：
1、 原式
2、 界点：，。
当时，原式；当时，原式；
当时，原式。
3、 由得， 显然为界点。
当时，原方程的解为的一切实数；
当时，原方程转化为，
由得，矛盾，舍去；由得。
归纳可见：时，原方程的解为的一切实数；
时，原方程的解为。

考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。
第一次讲授时例4为：化简，评课时大家认为初一学生在探究例4时要求太高，为此引用了解的方程让学生在化简时学会运用分类方法，也学会运用分类方法去解方程中涉及到的问题，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。第71讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。

第2讲 分类讨论方法在线段和角中的应用

例1、如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．

解：

（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．
若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；
若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．
②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．
若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；
若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．

（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动了30秒，当点Q运动到点O时停止运动，故经过5秒两点相距70cm．

（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，
∴==2．

如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，
∴==2．

分析：此题较为复杂，但仔细阅读，读懂题意根据速度公式就可求解．
（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，不是静止的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40，PB=20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ=时，BQ=时，由此就可求出它的速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，按速度公式就可解了．
（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形．
点评：做这类题时学生一定要认真仔细地阅读，利用已知条件求出未知值．学生平时就要培养自己的思维能力．而且要图形结合，与生活实际联系起来，也可以把此题当成一道路程题来对待．

例2：

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_____秒(直接写出结果)；
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

解：
（1）已知∠AOC=60°，
所以∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°
所以∠CON=∠COM+90°=150°
（2）当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行，
∴∠AOM=90°，
由题意得，10t=90°
∴t=9
∵∠ONM=60°
∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行
∴∠NOM=270°
由题意得，10t=270°
∴t=27
延长NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，10t=300°
∴t=30，
当NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，
所以∠AOM=90°－∠AON
∠NOC=60°－∠AON
所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，
所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM－∠NOC=30°

分析：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键

作业：

1、OA,OB,OC是从同一端点O引出的三条不同射线。已知角AOB=60度，角BOC=20度。请你画出图形，并求出角AOC的度数。

2、如果线段AB=5cm，BC=3cm，且A，B，C三点在同一条直线上，那么A，C两点之间的距离是______．
3、如图(1)所示，一副三角板中含45°角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．
(1)若AB∥ED，求∠AHO的度数；
(2)如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线FN相交于点N．
①当∠AHO=60°时，求∠M的度数；
②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．

第3讲 分类讨论方法在实际生活中的应用

例1、
为了鼓励居民节约用水，某小区水费收费标准如下：（水费每月一交）设每户家庭用水量为x吨时，应交水费y元．
月水量/吨
收费标准/元
0～17（含17）
3.00
17～30（含30）
5.00
30以上
6.80
（1）当0≤x≤17时，y= （用含x的代数式表示）；当17＜x≤30时，y=
  （用含x的代数式表示）．
（2）小明家四月份交水费56元，五月份比四月份少用水2吨，五月份和六月份一共交水费119元，请问小明家这个季度共用水多少吨？

例2、某超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折。
已知张强在这家超市两次购物分别付款80元和252元，请回答以下问题：
（1）“付款80元”是原价吗？
（2）“付款252元”的原价是多少？（请用一元一次方程来解题）
（3）若张强一次性购买以上两次相同的商品，则应付款多少元？

课程反思
在完成了第二阶段初中数学拓展课系列课例的实践研究基础上，我们将引成课例实践研
究的常态化，融入到常规教学教研活动中去，形成如下实践研究：

通过课程案例的实施，从而把新课程的概念转变为核心学校教师自觉的教学行为，实现从客观理念到微观教学，从数学理论研究到数学方法运用的转变。
“一句话，与专业研究的专家不同，中学教师面对的是一节节具体的课，我们研究的
也正是一节节具体的课，这种以一节节具体的课为对象的研究，我们称之为课例研究”。我很赞同上述表述，特别是在新课程改革过程中，根据拓展教学的需求形式，课例研究更是一种成果表达方式，也正是校本研究的一种实践形式，而课堂正是中学教师从事教育教学活动的主要场所。拓展课课堂教学是我们的主要研究对象，在这个意义上讲，拓展课教学课例的实践研究是很有实践意义和价值的研究载体，让我们联手共同打造拓展课中培养智优学生运用数学方法的课例研究，真正做到走进一片空地，建造一幢大厦，培养一批人才。
参考文献：
1、 上海教育科学研究院 顾泠沅、杨玉东（20032）《过程性变式与数学课例研究》
2、 湖北省教育科学研究院 叶平 《教学课例与课例研究》
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