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《线性代数》复习提纲
第一章、行列式
1．行列式的定义：用个元素组成的记号称为n阶行列式。
　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；
2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
N阶（n3）行列式的计算：降阶法
　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
行列式值为0的几种情况
Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式、代数余子式
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n阶行列式也可定义：，t为的逆序数
4.行列式性质：
1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则）
7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.
5.克拉默法则：
：若线性方程组的系数行列式，则方程有且仅有唯一解。
：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0.
：若齐次线性方程组的系数行列式，则其没有非零解。
：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。
6. ，
范德蒙德行列式
, ，（两式要会计算）
题型：Page21（例13）
第二章、矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；
2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；
（2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=*|A|。只有方阵才有幂运算。
（3）转置：（kA）T=kAT，
（4）方阵的行列式：，，
（5）伴随矩阵：，，的行元素是A的列元素的代数余子式
（6）共轭矩阵：，，，
（7）矩阵分块法：，
3．对称阵：方阵。 对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。
3．矩阵的秩
（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；
（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
（3）0≤R()≤min{m,n} ； ；若，则R(A)=R(B) ；
若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ；
若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}
4．逆矩阵
　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；
　（2）性质：， ；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
　（3）可逆的条件：①　|A|≠0；　②r(A)=n;  ③A->I;
　（4）逆的求解：伴随矩阵法；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:）
　（5）方阵A可逆的充要条件有：存在有限个初等矩阵，…，，使
第三章、初等变换与线性方程组
1、 初等变换：，， 性质：初等变换可逆。
等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价，记作，等价关系具有反身性、对称性、传递性。
初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
定理：对施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。
等价的充要条件： R(A)=R(B)=R(A,B)
的矩阵Ａ、Ｂ等价存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。
线性方程组解的判定
定理：(1) r(A,b)≠r(A)  无解；(2) r(A,b)=r(A)=n  有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A) r(A)秩。
3．非齐次线性方程组
（1）解的情况：有解 R(A)=R(A,b)。唯一解 R(A)=R(A,b)=n。无限解 R(A)=R(A,b)＜n。
（2）解的结构：　X=u+。
（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。
（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。
（5）若、都是方程的解，则是对应齐次方程的解
是方程的解，是的解，则也是的解。
第四章、向量组的线性相关性
1．N维向量的定义(注：向量实际上就是特殊的矩阵——行矩阵和列矩阵；默认向量a为列向量)。
2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；
（2向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量长     
（4）向量单位化　(1/|α|)α；

3．线性组合
（1）定义：若，则称b是向量组，，…，的一个线性组合，或称b可以用向量组，，…，的线性表示。
（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记　A＝(，，…，)
B=(，，…，，β)，则：r (A)=r (B) b可以用向量组，，…，线性表示。
B=(，，…，)，则： B能由A线性表示R(A)=R(A,B) AX=B有解R(B)≤R(A).
（3）求线性表示表达式的方法：矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
注：求线性表示的系数既是求解Ax=b
4．向量组的线性相关性
（1）线性相关与线性无关的定义
　设 ，若k1,k2,…,kn不全为0，称线性相关；若全为0，称线性无关。
（2）判别方法：
① r(α1，α 2，…，αn)所含向量个数称为向量组的秩
（2）求法：设A＝(，，…，)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
（3）矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。
注：如何证明，.
第五章、相似矩阵及二次型
1、向量内积：。
内积性质：，，;
：当x=0时，，当x0时，
2、向量长度：
性质：非负性、齐次性、三角不等式
3、正交：称x与y正交。若x=0,则x与任何向量都正交。
正交向量组是指一组两两正交的非零向量。
定理：若m维向量，，…，是正交向量组，则，，…，线性无关。
正交阵：，。
性质：若A为正交阵则也是正交阵，且；若A、B都正交，则AB正交。
规范正交基：设m维向量，，…，是向量空间V的一个基，若，，…，两两正交，且都是单位向量，则称，，…，是V的一个规范正交基。
规范正交化：施密特正交化过程：，，……

正交变换：P为正交阵，称为正交变换。有
4、矩阵的特征值和特征向量
定义：对方阵A，若存在非零向量和数λ使，则称λ是矩阵A的特征值，向量称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解：求出特征方程||=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组()＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
重要结论与定理：
（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；
（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 （4）对的特征值有：；。
（5）若λ是A的特征值，则是的特征值，是的特征值。（6），，…，是方阵Ａ的ｍ个特征值，对应特征向量是，，…，，若互不相等，则互不相关。
5、矩阵的相似
定义：同阶方阵A、B，若有可逆阵P， ，则A与B相似。P为把A变为B的相似变换矩阵。
若n阶矩阵A与对角阵相似，则对角阵元素即是A的n个特征值。
若f(λ)是矩阵Ａ的特征多项式，则f(A)=0。
与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量。
若的n个特征值互不相等则A与对角线对视。
求A与对角矩阵相似的方法与步骤（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。
通过正交变换求与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与相同，但要将所得特征向量正交化且单位化。
6、二次型
二次型：n元二次多项式f(,,…，)=称为二次型。若=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。如果标准型的系数为1、-1或0，则为规范型。
合同：A、B为n阶矩阵，若有可逆阵Ｃ，使，则A与B合同。
二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q， =Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。
任意给定二次型（），总有正交变换x=Py，使f化为标准型，其中。，，…，是的特征值。
任给n元二次型，总有可逆变换，使为规范型。
7．二次型或对称矩阵的正定性：
（1）惯性定理：二次型的可逆变换的标准型中的正系数个数不变。概念：正、负惯性指数……
（2）设二次型，如对任何，有>0，则称f为正定二次型，称对称阵A是正定的。
（3）正定的充要条件：①A的所有特征值都是正数，即标准型系数全为正，即正惯性指数为n。
②A的所有顺序主子式都大于0；