高中数学2.2.2椭圆第二定义教案新人教A版选修.doc

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 2.2.2椭圆第二定义教案 新人教A版选修2-1

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.
复习回顾
问题推广
引出课题
典型例题
课堂练习
归纳小结

教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学过程： 学生探究过程：复习回顾
1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为）.
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 20 .
引入课题
【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为，M1，M2为椭圆上的点
① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .
② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？
解：且代入消去得
【推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点M横坐标的函数吗？
解：代入消去 得

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点M到右焦点的距离与它到定直线的距离的比等于离心率
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
动点到定点的距离与它到定直线的距离的比等于常数的点的轨迹是椭圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为
典型例题
例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
解：由题意可知右焦点右准线；左焦点和左准线
变式：求椭圆方程的准线方程；
解：椭圆可化为标准方程为：，故其准线方程为
小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出
例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为 .
变式：求到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为到左右准线的距离分别为由椭圆的第二定义可知：
又由椭的第一定义可知：
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
解法一：设为所求轨迹上的任一点，则由化简得，故所的轨迹是椭圆。
解法二：因为定点A（2，0）所以，定直线所以解得，又因为故所求的轨迹方程为
变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
解法二：因为定点A（2，0）所以，定直线所以解得，故所求的轨迹方程为
问题1：求出椭圆方程和的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；
问题2：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；
解：因为把椭圆向右平移一个单位即可以得到椭圆所以问题1中的所有问题均不变，均为
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；
反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为另一方面离心率就等于这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为；
过点A、B、M分别作出准线的垂线，分别记为由梯形的中位线可知
又由椭圆的第二定义可知即
又且故直线与圆相离
例5、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值
分析：应如何把表示出来
解：左准线：，作于点D，记
由第二定义可知： ⇒ ⇒
故有
所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：
即的最小值是
变式1：的最小值；
解：
变式2：的最小值；
解：

巩固练习
1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________．
2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
答案：1．      2．1或2  
教学反思
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；
课后作业
1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， ，由椭圆定义有 ，所以 ，则 ， 中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ， ，所求椭圆方程为 ．
思考：
1．方程表示什么曲线？
解：；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆
例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，F是椭圆的一个焦点，则=
解法一：，设的横坐标为，则不妨设其焦点为左焦点
由得

解法二：由题意可知和关于轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知，同理可知，，
故