新人教版九年级上册数学期末复习资料.doc

二次根式
知识点1．式子（a≥0）叫做二次根式．
1、 下列各式 ①－ ② ③ ④ ⑤π 是二次根式的是
2、x为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义

知识点 2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
1、下列式子中是最简的二次根式的是：
①②③④⑤⑥
2、（1）是整数,求自然数的值是
是
知识点3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
1、若与是同类二次根式，则

2、若与是同类二次根式，则=
知识点4．二次根式的性质
①（）2=a（a≥0）；
②=│a│=；
1、化简= ______．
2、若<0，化简
3、要使有意义，则x的取值范围是

4、若为实数，且，则的值为___________．
知识点5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
1、已知：，，试求的值
2、a b
知识点6．二次根式的运算
=·（a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）．
1、 2、

3、 4、

一元二次方程
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）
（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
1、下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=；④x2-y=0；④（x+1）2= x2-1．一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx2+x3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
3、若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
4、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式
，
是二次项，为二次项系数，bx是一次项，为一次项系数，为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
1、将一元二次方程化成一般形式为_____________，其中二次项系数=________，一次项系数b=常数项c=__________
知识点3．完全平方式
1、说明代数式总大于

2、已知,求的值.

3、若x2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，
若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 。若是完全平方式，则= 。
知识点4．整体运算
1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为
2、已知实数x满足则代数式的值为____________
知识点5．方程的解
1、已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．
2、求以为两根的关于x的一元二次方程 。
知识点6．方程的解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
1、直接开方解法方程

2、用配方法解方程

3、用公式法解方程

4、用因式分解法解方程

5、用十字相乘法解方程

知识点7．一元二次方程根的判别式：
1、 关于的一元二次方程. 求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
3、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
知识点8．韦达定理
(a≠0, Δ=b2-4ac≥0)
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件
1、 已知方程的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。

2、 已知的两根是x1 ,x2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值

3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+m2－2=0．（1）当m为何值时这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．

知识点9．一元二次方程与实际问题
1、 病毒传播问题
2、 树干问题
3、 握手问题（单循环问题）
4、 贺卡问题（双循环问题）
5、 围栏问题
6、 几何图形（道路、做水箱）
7、 增长率、折旧、降价率问题
8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、 数字问题
10、折扣问题
旋转
知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度
知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；

1、如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的．若点在上。（1）求旋转角大小；
（2）判断OB与的位置关系，并说明理由。
A
O
B

2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积A
C
B

是多少？

3、如图，在△中, . 在同一平面内, 将△绕点旋转到△的位置, 使得, 求 的度数。

4、如图6，四边形是边长为1的正方形，点、分别在边和上，是由 逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点_________
（2）旋转角是________度，=_________度；
（2）若，求证.并求此时的周长.
图6

5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.（1）求△APQ的面积；（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC 上 两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接 ，证明①△≌△②

8、如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求∠AEB的大小；
（2）如图（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.

知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转___ ___度能与自身重合。
3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

知识点4．中心对称和中心对称图形
1、如图，下列4个数字有（ ）个是中心对称图形．

A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）
(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；
写出A1 ，B1， C1点坐标；
(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3， 画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标

2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有 条；
这个整体图形至少旋转 度与自身重合

知识点6．旋转割补法
如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求（提示：将四边形ABCD割补为正方形）

知识点7．关于原点对称
填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（ ， ）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于 的对称。⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（ ， ）；⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（ ， ）。

圆
【考点1】和圆有关的概念
（1）等弦对等圆心角（ ）
（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）
（3）等弧对等弦( ) （4）等弦对等弧（ ） （5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）
【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优弧和劣弧） （5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。
(1)平分弦的直径垂直于弦. （ ）
(2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

2、如图，⊙O 中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，(1)求证：AB＝CD (2) 如果AB>CD，则OE OF

3．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长

【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：
（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）
1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上． 求证：=
（连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）

2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B。

3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：=3 (连接OC、OD，外角，圆心角证弧)

4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．

【考点4】：直径所对的圆90°
1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：点D为BC中点

【考点5知识点(4)圆内接四边形对角互补
1、如图，AB、AC与⊙O相切
于点B、C，∠A=40º，
点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是
【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三个顶点 的距离相等；
三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E 、F，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于

【考点6】与圆有关的位置关系
画圆与圆位置关系的数轴

【考点7】切线的性质
切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径
4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

【考点8】切线的证明（两种方法）
1、 已知圆上一点 “连半径，证垂直”
2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。
1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线。

2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，
证明⊙O与AC相切

【考点9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。
图5
1、如图5，、是⊙的切线，点、为切点，AC是⊙的直径，，
图5
（1）求的度数；
（2）若，求的长。

3、如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，
∠BOC = 60o (1)求证：PB是⊙O的切线。
(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。

4、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，是点C劣弧AB上任一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E 若PA=10，求△PDE的周长

5、如图（1）所示，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m ，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F。所示，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r。

【考点10】正多边形的计算
1、 正n边形的每内角=
2、 正n边形的中心角=
3、 正n边形的外角=
4、 边心距r 、半径R、边长a之间的关系：
5、 正n边形的周长C=na
6、 正n边形的面积S=nCr/2

1、如图，正五边形ABCDE的顶点都
在⊙O上，P是上一点，
则∠BPC=____________

2、如图，小明在操场上从点O出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米后，又向左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走了___ __米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数 .周长和面积。

4已知⊙O1，⊙O2，⊙O3，尺规作图:
(1)作出⊙O1的内接正三角形; (2)作出⊙O2的内接正四边形; (3)作出⊙O3的内接正六边形