华中科技大学2010年高等代数考研试题.doc

一、求n阶行列式的值。
二、已知A,B,C,D均为n阶矩阵，且AC=CA，已知分块矩阵
(1)若A可逆，证明可逆的充要条件是
(2)若A不可逆，上述结论是否仍旧成立？为什么？
三、已知矩阵A=，求一个秩为2的4阶矩阵B使得AB=0
四、
五、已知X为线性变换A关于特征值的特征向量，Y为线性变换关于特征值的特征向量,,证明
（1）
（2）若X,Y均为实向量，证明X与Y线性无关。
六、在空间中，已知线性变换T在任一基下的坐标均为，其中为单位矩阵的第i列的列向量。
（1）求T的特征值。
（2）求的一组标准正交基，使得T在这一组基下的矩阵为对角阵。
七、已知A,B为对称矩阵，且A为正定矩阵，证明存在常数c，使得cA+B为正定矩阵。
八、已知f和g是复数域空间中的两个线性变换，且fg=gf，证明
（1）f和g有一个公共的一维不变子空间U；
（2）若f和g均可对角化，证明存在一组基，使得f和g在这一组基下的矩阵均为对角阵。