高中数学三角恒等变换习题及问题详解.doc

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第三章 三角恒等变换
一、选择题
1．函数y＝sin a＋cos a的值域为( )．
A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，] D．(－1，)
2．若0＜a＜b＜，sin a＋cos a＝a，sin b＋cos b＝b，则( )．
A．a＜b B．a＞b C．ab＜1 D．ab＞2
3．若＝1，则的值为( )．
A．3 B．－3 C．－2 D．－
4．已知 a∈，并且sin a＝－，则tan等于( )．
A． B． C．－ D．－
5．已知tan(a＋b)＝3，tan(a－b)＝5，则tan 2a＝( )．
A．－ B． C．－ D．
6．在△ABC中，若cos Acos B＞sin Asin B，则该三角形是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形
7．若0＜a＜＜b＜p，且cos b＝－，sin(a＋b)＝，则sin a 的值是( )．
A． B． C． D．
8．若cos(a＋b)·cos(a－b)＝，则cos2 a－sin2 b 的值是( )．
A．－ B． C．－ D．
9．锐角三角形的内角A，B 满足tan A－＝tan B，则有( )．
A．sin 2A－cos B＝0 B．sin 2A＋cos B＝0
C．sin 2A－sin B＝0 D．sin 2A＋sin B＝0
10．函数f(x)＝sin2－sin2是( )．
A．周期为 p 的偶函数 B．周期为p 的奇函数
C．周期为2 p的偶函数 D．周期为2p的奇函数
二、填空题
11．已知设a∈，若sin a＝，则cos＝ ．
12．sin 50°(1＋tan 10°)的值为 ．
13．已知cos＋sin a＝，则sin的值是 ．
14．已知tan＝，则的值为 ．
15．已知tan a＝2，则cos 的值等于 ．
16．sinsin＝，a∈，则sin 4a 的值为 ．
三、解答题
17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．

18．求值：①(tan10°－)；
②．

19．已知cos＝，＜x＜，求的值．

20．若sin a＝，sin b＝，且a，b 均为钝角，求a＋b 的值.

参考答案
一、选择题
1．C
解析：∵ sin a＋cos a＝sin(a＋)，又 a∈(0，)，∴ 值域为(1，]．
2．A
解析：∵ a＝sin(a＋)，b＝sin(b＋)，又＜a＋＜b＋＜．
而y＝sin x在［0，］上单调递增，∴ sin(a＋)＜sin(b＋)．即a＜b．
3．A
解析：由＝1，解得tan θ＝－，
∴ ＝＝＝＝＝3．
4．D
解析：sin a＝－，a∈(π，)，∴ cos a＝－，可知tan a＝．
又tan a＝＝．
即12 tan2＋7 tan－12＝0．
又 ∈，可解得 tan＝－．
5．C
解析：tan 2a＝tan[(a＋b)＋(a－b)]＝＝－．
6．C
解析：由cos Acos B＞sin Asin B，得cos(A＋B)＞0cos C＜0，
∴ △ABC为钝角三角形．
7．C
解析：由0＜a＜＜b＜p，知＜a＋b＜ p 且cos b＝－，sin(a＋b)＝，
得sin b＝，cos(a＋b)＝－．
∴ sin a＝sin[(a＋b)－b]＝sin(a＋b)cos b－cos(a＋b)sin b＝．
8．B
解析：由cos(a＋b)·cos(a－b)＝，得cos2a cos2 b－sin2a sin2 b＝，
即cos2 a(1－sin2 b)－(1－cos2 a)sin2 b＝，
∴ cos2 a－sin2 b＝．
9．A
解析：由tan A－＝tan B，得＝tan A－tan B＝
cos B＝2sin Asin(A－B)cos[(A－B)－A]＝2sin Asin(A－B)
cos(A－B)cos A－sin Asin(A－B)＝0，即cos(2A－B)＝0．
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ －＜2A－B＜π，
∴ 2A－B＝sin 2A＝cos B，即sin 2A－cos B＝0．
10．B
解析：由sin2＝sin2＝cos2，
得f(x)＝sin2－cos2＝－cos＝sin 2x．
二、填空题
11．．
解析：由a∈，sin a＝得cos a＝，cos＝cos a－sin a＝．
12．1．
解析：sin50°(1＋tan10°)
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·
＝
＝
＝1．
13．－．
解析：cos＋sin a＝cos a＋sin a＋sin a
＝( cos a＋sin a)＝，
所以cos a＋sin a＝．
sin＝sin acos＋cos asin
＝－sin a－cos a＝－(sin a＋cos a)＝－．
14．－．
解析：由tan＝＝＝，解得tan a＝－，
∴
＝
＝
＝tan a－
＝－－
＝－．
15．．

解析：tan a＝＝2，sin a＝2cos a．又sin2 a＋cos2 a＝1，
所以sin2 a＝，又cos＝sin 2a＝2sin acos a＝sin2 a＝．
16．－．
解析：∵ sin＝sin＝cos，
∴ sinsin＝
sincos＝
sin＝．
∴ cos 2a＝，又 a∈(，π)，∴ 2a∈(π，2π)．
∵ sin 2a＝－＝－，
∴ sin 4a＝2sin 2acos 2a＝－．
三、解答题
17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°
＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°
＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－．
18．①解法1：
原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2．
解法2：
原式＝
＝
＝
＝
＝－2．
②解：原式＝
＝
＝
＝．
19．解：∵ ＜x＜，∴ ＜＋x＜2p．
又cos＝＞0，
∴ ＜＋x＜2p，
∴ sin＝－，tan＝－．
又 sin 2x＝－cos＝－cos 2＝－2cos2＋1＝，
∴ 原式＝
＝
＝
＝
＝sin 2x·tan(＋x)
＝－．
20．解：∵ a，b 均为钝角且sin a＝，sin b＝，
∴ cos a＝－＝－，cos b＝－＝－，
∴ cos(a＋b)＝cosacos b－sin asin b＝××＝．
又 ＜a＜π， ＜b＜π，∴ π＜a＋b＜2π，则a＋b＝．