八年级数学(人教版上)同步练习第十三章第二节立方根.doc

2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十三章
第一节 立方根
一、教学内容：
1、立方根的概念、表示、求法
2、用估算的方法求无理数的近似值
3、用计算器进行开方运算

二、教学目标
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质.
3、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
4、能应用立方根的概念及性质解决实际问题。

三、知识要点分析

1、立方根的概念
（这是重点）如果一个数x的立方等于a,即，那么这个数x就叫做a的立方根。数的立方根记作，这里的“３”是根指数，不能省略．开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方.被开立方的数可以是正数、负数、0.开立方运算的结果是立方根.
立方根的性质：每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
两个重要公式：
⑴(a为任意数)；
⑵(a为任意数)．
2、用估算的方法求无理数的近似值
通过估算检验计算结果的合理性，主要是依据两个公式：⑴；（2）(a为任意数)．
估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算的大小，要求精确到小数点后一位.首先找出与43邻近的两个完全平方数，如36＜43＜49，则___＜＜___，由此可得的整数部分是____，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56，得6.5＜＜6.6，从而知的一位小数应为5，即≈6.5或6.6.
3、用计算器开方
（这是重、难点）开方运算要用到键“”和键“”。对于开平方运算，按键顺序为：“”，被开方数，“＝”；对于开立方运算，按键顺序为：“”，被开方数，“＝”。

【典型例题】
考点一：立方根的概念
例1：求下列各数的立方根
（1）2（2）-0.008 (3)-343 （4）0.512
【思路分析】由立方运算求一个数a的立方根，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值，并用数学表达式表示开立方的结果。正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
解：（1）因为2=，（）3=，所以2的立方根为，即=。
（2）因为（-0.2）3=-0.008，所以-0.008的立方根为-0.2，即=-0.2。
(3)因为（-7）3=0.343，所以-343的立方根是-7，即=-7。
（4）因为（0.8）3=0.512，所以0.512的立方根是0.8，即=0.8。
方法与规律:不论是正数还是负数都有一个立方根.

考点二：用估算的方法求无理数的近似值
例2： 校园里有旗杆高11米，如果想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根
直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8m，小军已准备好一根长12.3m
的铁丝，你认为这一长度够用吗?

【思路分析】如图，由题意可知，AC=11m，BC=8m，因为旗杆AC垂直于地面，所以
△ABC是直角三角形，由勾股定理可求出AB2的值，用此值与12.32比较大小，即可得出是否够用.
解：由勾股定理得AB2=AC2+BC2=112+82=185.因为12.32=151.29＜185，
所以＞，因此这一长度不够用.
方法与规律:利用勾股定理解决实际问题是近几年中考的热点问题，往往与求算术平方根相结合，要注意掌握.

例3. 下列估算结果是否正确？为什么？
(1)≈6.8；(2)≈20.
【思路分析】 通过估算检验计算结果的合理性，一般首先考虑两个数的数量级是否相同，像第(1)小题，不难看出＞10，结论自然是不难得出；如果两个数看起来比较接近，再去进行精确度更高的估算.
解：(1)错，因为＞=10，而显然6.8＜10；
(2)错，因为＜=10，而20＞10.
过程与方法：熟记检验计算结果的合理性的两个公式是解决本题的关键.

考点三：利用计算器开方
例4. 用计算器求21.52的平方根(精确到0.001)
【思路分析】先用计算器求出21.52的算术平方根,然后按题意写出其平方根按键顺序为:“”，21.52，“＝”，显示结果为：4.6389654
解：±≈±4.639
方法与规律:掌握用计算器开方的按键顺序，根据题意准确地写出结果.

考点四：思维能力拓展
例5: 求下列各式中x的值。
(1); (2).
【思路分析】通过移项将(1)式化为;将(2)式化为,然后利用立方根的定义求解.
解: (1)∵,∴,∴.
(2) ∵,,
∴,
即,
∴.

方法规律总结:解此类题,一般将其化为或的形式,再利用立方根的定义求解.

例6. 已知A=是m+n+10的算术平方根,B=是4m+6n-1的立方根,求B-A的立方根.
【思路分析】因为A是m+n+10的算术平方根,可知m-n=2;B是4m+6n-1的立方根,m-2n+3=3,通过解方程组求出m、n的值，再求出A、B，问题得以解决。
解：根据题意有
解方程组得，所以A=,B=
所以B-A=3-4=-1,.
方法规律总结:解决此类题的关键就是进一步透彻理解算术平方根、平方根及立方根的意义及其表示方法。

例7. 丽丽同学去海南旅游时买回了一颗珍珠，经测量体积为7.23456立方厘米。现在，她打算做一个正方体盒子来装这颗珍珠，那么盒子的棱长可以为多少厘米？请你提供两个数据供丽丽参考。（球的体积：r3,其中取3.14）
【思路分析】当盒子的棱长比珍珠的直径大时，才能将这颗珍珠装进正方体盒子里。
解：设这颗珍珠的半径为x厘米，根据题意，得x3=7.23456,所以x3=1.728，解得，那么珍珠的直径为2.4厘米。所以盒子的棱长应略大于2.4厘米，可取2.5厘米等。
方法规律总结: 本题属于结论开放性题目，像这类题目的答案实际上有很多种，只要满足盒子的棱长大于珍珠的直径即可。

【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲了立方根的意义及性质、用估计的方法求无理数的近似值和用计算器开方。在学习立方根的意义及性质时，我们利用了类比的数学思想方法，通过类比前面学过的平方根的性质来掌握立方根的性质；在利用立方根的概念和性质解决问题时，我们还用到了方程的数学思想。

预习导学案
(实数）
一、预习前知
1、什么是实数？
2、如何对实数进行分类？
3、实数与数轴的关系是什么？
二、预习导学
探究与反思
探究任务1：实数的概念
1、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
2、用数轴表示无理数.
【反思】（1）a是一个实数，则其相反数是_____,绝对值是______？
（2）如果a≠0,则其倒数是多少?
探究任务2：实数的运算
1、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算。
2、归纳出两个运算公式。
【反思】（1）______,题目中a,b的取值范围分别是什么？
（2）__题目中a,b的取值范围分别是什么？

1. 在实数中（ ）
A、实数的绝对值都是正数
B、有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数
C、没有绝对值最大的数，但有绝对值最小的数
D、没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数
2.下列命题中，错误的一个是( )
A、如果a、b互为相反数，那么a＋1和b－1仍是互为相反数；
B、不论x是什么实数，的值总是大于0；
C、n是自然数，一定是一个无理数；
D、如果是一个无理数，那么a是非完全平方数．
3．下列计算正确的是（ ）
A、2 B、2
C、2 D、2
4．如果成立，则（ ）
A、x≥6 B、x≥0
C、0≤x≤6 D、x为任意实数
5．化简：
（1）＝_______；（2）＝______；（3）＝______；
（4）＝__________。

【模拟试题】（共60分钟,满分100分）
一、认认真真选(每小题4分,共40分)
1.下列说法不正确的是（ ）
A.-1的立方根是-1 B.-1的平方是1
C.-1的平方根是-1 D.1的平方根是±1
2.下列说法中正确的是（ ）
A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1
C.的立方根是 D.-5的立方根是
3.在下列各式中：=,=0.1,=0.1,-=-27,其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
﹡4.若m<0，则m的立方根是（ ）
A. B.－ C.± D.
﹡5.如果是x－6的三次算术根，那么x的值为（ ）
A.0 B. 3 C.5 D.6
6.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（ ）
A.-13 B.--13 C.2 D.-2
7.在无理数，，，中，其中在与之间的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
﹡8.一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（ ）
A.22厘米 B.27厘米 C.30.5厘米 D.40厘米
﹡9．已知,，则的值等于( )
A．485.8 B．15360 C．0.01536 D．0.04858
﹡﹡10.若+有意义，则的值是( )
A.0 B. C. D.

二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)
11．-的立方根是 ，125的立方根是 。
12．的立方根是 .
13．=_____.
14．-3是 的平方根，-3是 的立方根.
﹡15．若，则
﹡16.将数，，，，1按从小到大的顺序排列为 。
﹡17.若x<0，则=______,=______.
﹡18. 若x=()3，则=______.

三、平心静气做(共28分)
19. (本题8分)求下列各式中的x.
(1)125x3=8
(2)(-2+x)3=-216
﹡20. (本题10分)已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.
**21. (本题10分) 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

【试题答案】
一、
1.C 【思路分析】负数没有平方根,所以本题答案是C.
2.D 【思路分析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B两个选项;由于的算术平方根是,故C选项也是错误的.
3.C 【思路分析】由于=,=0.1, -=-27,故本题答案是C.
4.A 【思路分析】负数的立方根是负数,任意一个数a的立方根都表示成,故本题答案是A.

5. D【思路分析】立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。0的立方根是0。本题中6-x的立方根是它的相反数，只有0这种情况。所以6-x=0，所以x=6。
6.D【思路分析】由题意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.
7.D【思路分析】借助计算器计算知，，，四个数都在与之间.
8.C【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长.
9. D【思路分析】开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.
10. B【思路分析】由题意可得=0和=0,得x=,故=.
二、
11. -,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解.
12.2 【思路分析】意为8的立方根,即2.
13.【思路分析】=.
14.9,-27【思路分析】逆用平方根,立方根的概念求解.
15.0.05 【思路分析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.
16. <<1<<【思路分析】当x>0时,被开方数越大,立方根越大.
17. –x,x【思路分析】的算术平方根有两个,分别是x,-x,其中正的平方根是它的算术平方根,故其算术平方根是-x; 根据立方根的概念可以判断=x.
18.2 【思路分析】x=()3=-5,所以.
三、
19.(1) 125x3=8 ,,即x=;
(2)-2+x=-6,所以x=-4.
【思路分析】先把方程变成的形式,然后求a的立方根即可.
20.设第二个纸盒的棱长为x,则可得,可得=7。
【思路分析】根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解.
21.解:因为A点到MN的距离是≈93.3米小于噪声的影响范围100米. 有影响， 学校受影响的时间为4秒.
【思路分析】根据来估计出其取值,然后与100米进行对比即可.