1、
角平分线
第1课时
知能演练提升
能力提升
1.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
2.如图,已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使P到角两边OA,OB的距离都等于a.
作法:(1)作OB的垂线NH,使NH=a,H为垂足;
(2)过N作MN∥OB;
(3)作∠AOB的平分线OP,与MN交于点P;
(4)点P即为所求.
其中(3)的依据是( )
A.平行线间的距离处处相等
B.到角的两边等距离的点在角的平分线上
C.角的平分线上的点到角的两边距离相
2、等
D.到线段两端等距离的点在这条线段的垂直平分线上
3.
如图,点A,B,C在同一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形.连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q.连接PQ,BM.下列结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 .
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P,Q在OC上,PE垂直OA于点E,PF垂直OB于点F,QM垂直OA于
3、点M,QN垂直OB于点N,若PE+QN=4,则PF+QM= .
6.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.
7.如图,已知AB∥CD,∠BAC的平分线与∠DCA的平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直,垂足为F,且EF与CD交于点E.
求证:点M为EF的中点.
创新应用
8.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且2AE=AB+AD,请通过探究猜测∠ADC和∠ABC的关系,并对你的猜测作出证明.
答案：能力提升
1.C 2.B
4、 3.D 4.4∶3
5.4 由角平分线的性质定理可得PE=PF,QM=QN,因此PF+QM=PE+QN=4.
6.证明:作CP⊥OA于点P,CF⊥OB于点F,∵OM=ON,OE=OD,∠MOE=∠NOD,
∴△MOE≌△NOD(SAS).
∴S△MOE=S△NOD.
∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE,
∴DM=EN.
∴CP=CF.∴点C在∠AOB的平分线上.
7.证明:过M作MN⊥AC于点N.
∵CD∥AB,EF⊥AB,
∴EF⊥CD.
∵CM平分∠DCA,
MN⊥AC,ME
5、⊥CD,
∴MN=ME.
∵AM平分∠BAC,MN⊥AC,MF⊥AB,
∴MN=MF.∴ME=MF.
∴点M为EF的中点.
创新应用
8.解:∠ADC+∠ABC=180°.证明如下:过C点作AD的垂线,垂足为H.
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CH⊥AD,
∴CE=CH.又∵AC=AC,
∴Rt△ACE≌Rt△ACH.
∴AE=AH.
又∵2AE=AB+AD,
∴AE+AH=AB-BE+AD+DH=AB+AD.
∴BE=DH.又∵CE=CH,
∴Rt△CBE≌Rt△CDH.∴∠CDH=∠ABC.
又∵∠ADC+∠CDH=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
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