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分类讨论思想在高中数学中的应用

高中数学中，分类讨论方法是解决含有参数的复杂数学问题的主要途径。由于每个数学结论的成立具有特定的条件，每个定理的使用也具有特定的范围，因此对于复杂的问题往往不能用统一的形式进行研究。分类讨论是按照一定的标准将一个复杂的数学问题分解为等价的若干个相对简单的子问题，通过对子问题的解答，使得原复杂问题得到解决的方法。
1 问题概括
解决中学数学问题的思想包含分类讨论思想，数形结合思想，类比思想等，其中分类讨论思想在解决中学复杂的数学问题时显得更为重要。笔者调查发现，几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但是使笔者感到遗憾的是，在被调查的学生中想到运用分类讨论思想解决具体问题的学生仅仅占60%，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。
每个数学定理具有特定的条件，其使用具有自己的特定范围。对于具体的问题，如果求解的问题与要采用的数学结论的使用范围不一致，那么就要求对求解的问题进行分类讨论。例如，要判断两条直线的位置关系，就必须明确两条直线是不是处在一个平面内。如果处在一个平面内，那么两条直线之间不是相交，就是平行，但是如果在空间范围内，那么就存在既不相交也不平行的情况。另外一种常见的问题就是根据函数在不同的区间内具有不同的单调性来对求解的问题进行分类讨论。一个非常简单是问题是函数在单调递增，在单调递减。对于函数来说，不能直接说该函数是增函数或者减函数，这类问题在高中数学问题中经常遇到。特别是二次函数是用参数表达的式子时，必须对参数进行分类讨论。这样两个简单的问题说明了在什么情况下需要进行分类讨论以及如何进行分类讨论。
复杂问题划分为几个简单子问题时必须保证子问题和原复杂问题是等价的，即分类的标准要统一，做到不重不漏。需要注意的是一个复杂的问题可能有几种不同的分类标准，但是在分类的时候标准一定要统一，这是正确分类的前提。对分类后的子问题进行逐个求解，得到每个子问题的解。对于非常复杂的问题，在求解子问题的时候，可能仍要进行分类讨论。对分类后的子问题的解进行归纳总结，得出原问题的解。必须注意，不能不加分析而直接对子问题的解取并集或交集，并将得到的并集或交集作为原问题的解。笔者需要强调的是，对于一个复杂的问题，很难直接去分类，需要在求解时遇到了不可以用统一的结论来表示时再进行分类讨论。
2 实例分析
在解决实际的数学问题时，如果求解的问题包含参数，往往需要用到分类讨论的思想。对于大多数的高中生来说，对分类讨论思想并不陌生，但是当遇到实际问题的时候，往往不能将一个复杂的数学问题进行等价的分类。不是各类之间有重复，就是将原问题中包含的一些情况遗忘。错误的分类，必然导致问题不能得到正确的解决。为了更好的说明问题，笔者针对三道典型的例题进行分析。
题目1：求二次函数在闭区间[2,3]上的最大值的表达式。
问题分析：二次函数的对称轴为。根据二次函数的性质，在开区间上，二次函数单调递减，在开区间上，二次函数单调递增。因此本题需要分类讨论，来确定闭区间[2,3]与对称轴的位置关系。可以分为三种情况：（1）闭区间[2,3]在对称轴的左边，即；（2）对称轴在闭区间[2,3]内，即；（3）闭区间[2,3]在对称轴的右边，即。
解：当时，此时函数在闭区间[2,3]上单调递减，

当时，此时函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增。因此在和处，均可能取最大值。
当，
当，
因此，时，；时，
当时，此时函数在区间[2,3]上单调递增，

综上可知，当时，；当时，。
本题是根据二次函数在不同的区间上具有不同的单调性来进行分类的。如果函数在定义域内是单调的，那么函数在区间的端点处取得最值。如果函数在定义域内不是单调的，那么需要根据函数在区间的单调性进行分类，保证函数在分解的区间内是单调的，这是解决含有参数的函数的最值问题常用的方法。
题目2：求解关于x的不等式（其中）。
问题分析：求解对数不等式时，由于a的不同取值范围，函数的单调性不同。因此在求解该不等式时必须对底数a进行分类讨论。当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减。
解：当时，原不等式可以化简为式(1),
(1)
解(1)式，得

当时，原不等式可以化简为式(2),
(2)
解(2)式，得

综上可知，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为。
本题分类的依据是对数函数的单调性与底数有关。由于底数是参数，必须对底数的可能取值进行讨论。正确解决该问题的前提是必须对原问题进行等价划分，做到不重不漏。
题目3：用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统，，当元件A，B，C都正常工作时，系统正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统正常工作。已知元件A，B，C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90。分别求系统，正常工作的概率。

图1 两个系统连接示意图
问题分析：对于系统来说，正常工作的情况只有一种，那就是A，B，C三个元件同时工作，否则，系统将不能正常工作；对于系统来说，需要分情况进行讨论，可以使得系统正常工作的情况包括三种：1）A，B正常，C不正常；2）A，C正常，B不正常；3）A，B，C均正常工作。本题需要说明的是由于上述的三种情况均可以使得系统正常工作，因此最终正常工作的概率是这三种情况发生的和。由于本题求解简单，具体的求解过程不再一一列出。
3 教学启示
数学的学习是一个提出问题，分析问题，解决问题的过程，分类讨论思想正体现了这么一个数学学习的过程。遇到一个实际的复杂问题，不要盲目的去做，这样往往不能对问题进行很好的解决。首先，将遇到的复杂问题与我们已经掌握的简单问题进行对比，提出该复杂问题不能得到解决的根本原因在什么地方。然后，对原复杂问题进行分析，根据已经掌握的知识对原复杂问题进行分解，得到简单的子问题。为了做到问题分解不重不漏，在分解时要具有条理性。最后，对分解得到的子问题进行求解，并对求解得到的子问题的解进行归纳总结，得到原问题的解。
分类讨论思想是解决复杂数学问题的一种重要的策略，它贯穿于整个的数学理论知识体系，在数学教学的各个阶段都起到非常重要的作用。该种思想对于培养学生思维的严密性、严谨性、灵活性和提高学生分析解决实际问题的能力具有很大的帮助。分类讨论思想在整个的高中数学中具有非常重要的作用，因此分类讨论思想的教学不同于一般的数学知识那样，在较短的时间内就可以完全的掌握。因此，在教学的过程中应该有意识的将分类讨论的思想渗透其中，在解决问题时让学生进一步的学习分类方法，增强思维的慎密性，提高合理解题的能力。通过对问题的解决使学生知道在解决什么问题时需要分类，为什么要分类，如何对该问题进行合理的分类以及分类的原则与标准。但是必须注意，在运用分类讨论思想时，不要盲目地或机械式地进行分类讨论，同时在解决实际的问题时，要结合数形结合思想、类比思想等，从而达到迅速准确解决实际问题的目的。