人教版初中数学八年级全册知识点梳理.doc

知识点梳理
第11章 三角形
一．知识概念
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

不等边三角形

等腰三角形
2、三角形的分类（1）三角形按边分类
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形

3.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
三边关系的应用：①判断给定的三条线段能否围成三角形 ②已知两边确定第三边或是周长的取值范围③化简代数式④证明线段间的不等关系
4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7.三角形的稳定性：
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
8.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
9.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
10.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
11.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
12.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
13.平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
14.公式与性质
①三角形的内角和： 三角形的内角和为180°
直角三角形的两个锐角互余。
②三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
③多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
④多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
⑤多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
⑥（2）n边形共有条对角线。
第12章 全等三角形
一．知识概念
15、全 等 形：能够完全重合的两个图形。
一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的新图形，与原图形全等。
16.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
17．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。
18.三角形全等的判定公理及推论有：
（1）“边边边”简称“SSS”
（2）“边角边”简称“SAS”
（3）“角边角”简称“ASA”
（4）“角角边”简称“AAS”
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
19. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
①、准备条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），回顾三角形判定，搞清我们还需要什么。
②、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
20、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
21、定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
作法：
1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
3、作射线OC，射线OC即为所求。

22、角平分线推论：角内到角两边距离相等的点在角的平分线上
23、尺规作图：作角的平分线

A
B
O

C
N

M

第13章 轴对称
一．知识概念
24. 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
25.两个图形关于这条直线对称：把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,
这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点。
26、性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
27、垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做垂直平分线。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等
推论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
作法：

1. 分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧于线段A、B两侧交于点C和D.
2. 作直线CD.直线CD.即为所求直线。

C
D
A
B

画轴对称图形：
画法：（1）如图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画点B，C 关于直线l 的 对称点B′，C′；
（3）连接A′，B′，C′，所得图形就是所求图形。

A
B
C
l
O
A′
B′
C′

28、画轴对称图形的步骤：
⑴找点（确定图形中的一些特殊点）；
⑵描点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
⑶连线（连接对称点）。,
一找二描三连线
坐标轴对称
29、纵轴纵相等，横轴横相等。
等腰三角形
30、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
31.性质：①等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 （三线合一）
32、等腰三角形的判定：①两边相等（定义）。②两角相等（等角对等边）
等边三角形
33、定义：三边相等的三角形叫做等边三角形

34、性质：①等边三角形的三边都相等
②三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
③等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
35、等边三角形的判定：①三条边都相等
②三个角都相等
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
36.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
37．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
路径最短问题：
38、如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
B

l
A

B′
C

作法：（1）作点B关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交C．则点C 即为所求

39、 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

F
A
O
B
D ·
· C
G
H

作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB
的对称点点E,
3.连接EF分别交直线OA.OB于点 G.H，
则CG+GH+DH最短

第14章 整式的乘除与分解因式
40.同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)
41. 幂的乘方法则：(man都是正数)
î
í
ì
-
=
-
).
(
),
(
)
(
,
为奇数时
当
为偶数时
当
一般地
n
a
n
a
a
n
n
n

42.积的乘方(ab)n=an bn . (m,n都是正数)

整式的乘法
43. 单项式乘法法则:
①,把它们的系数、
②相同字母分别相乘，
③对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式（照抄）。
44、单项式与多项式相乘:
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，
即用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
45、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
46. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.
③运算要注意运算顺序.
整式的除法
47．单项式除法单项式:
把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
48.多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
整式混合运算的运算法则：先乘方，再乘除，后加减
几种常见的换算0.125=1/8 0.25=1/4 0.75=3/4
49．平方差公式:
特殊技巧如：1999×2001=﹙2000﹣1﹚﹙2000﹢1﹚＝2000²﹣1
50．完全平方公式:
51.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
52.分解因式的一般方法：
1.提公共因式法
2. 运用公式法
3.十字相乘法
4、分组分解法
53、分解因式的步骤：
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
第15章 分式
一．知识概念
54.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
55.分式有意义的条件：分母不等于0
57、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（）
②分式无意义：分母为0（）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
58、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
59、拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
分式的约分
60、定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
61、步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
62、注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
63、知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
64、分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
65、分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
③ 分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
66、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即
★ ★
★ ★ （）
★ ★ （）
★ （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
67、科学记数法
若一个数x是010的数则可以表示为（，即a的整数部分只有一位n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=

68.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
69.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
70、知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
列分式方程
70、基本步骤
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。

71、作一角等于已知角：

（1）作射线O′A′：
（2）以点O为圆心，以OC长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D ′ ；
（5）过点D ′作射线O ′ B ′
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