初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案).doc

相似三角形
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．

4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

11．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

13．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．

14．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．

15．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．

相似三角形
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

分析：
（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．
（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．

点评：
本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：
（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

分析：
（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
解答：
（1）设经过x秒后，（6﹣2x）x=×3×6，得x1=1，x2=2，
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA∠MAN=90°，
因此有或
即①，或②
解①，得t=；解②，得t=
经检验，t=或t=都符合题意
12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

分析：
欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．
6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

分析：
要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．
解答：
解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，
由于∠PBQ=∠BCD=90°，
（1）当∠1=∠2时，有：，即；
（2）当∠1=∠3时，有：，即，
∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．

7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

解答：
解：∵AC=，AD=2，
∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．
8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

解答：
解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，
∵∠C=∠C=90°，当或时，两三角形相似．
（1）当时，，∴x=；
（2）当时，，∴x=．
19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

解答：
解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，=，AP2﹣7AP+6=0，AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．
（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
检验：当AP=时由BP=，AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BPC．此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

分析：
若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有四种情况：
①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC；
③△AQP∽△BAC，此时得AQ：BA=AP：BC；
④△AQP∽△BCA，此时得AQ：BC=AP：BA．
可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．
11．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

分析：
如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．
12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

分析：
因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．（BC=4米）
13.如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．

解答：
解：
（1）由已知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．
（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．
（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．
由（1）可知，即，∴，
同理可得：，∴，
由等比性质得：，
当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比
∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．

14．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．

解答：
解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，
∴AE：9=（15+5）：15．AE=12．
15．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．

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