1、1．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值．
2．（本小题满分12分）
两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程 x2－5x + 6 = 0
的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．
(1) 求 p1、p2的值；
(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
3．（本小题满分12分）
P是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率；
2、2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当，= 0，求双曲线的方程．
4．（本小题满分14分）
设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当 x∈[ 2，3 ] 时， 222233．
（1）求的解析式；
（2）若在上为增函数，求的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
数学擂台高考题答案
1．解析：
…………………………4’
当＞0时，，
解得，………………………………………………………………6’
从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；…………………………
3、……………………8’
当m＜0时， 解得，………………………………………………10’
从而，，T=，最大值为，
最小值为．……………………………………………………………………12’
2．解析：(1) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1)，
∴ Dx甲 = 5p1 (1－p1) = Þ p12－p1 + = 0 Þ p1 = ．2分；又 ·= 6，∴ p2 = ． 3分
(2) 两类情况：共击中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 = ；
共击中4次概率C ( ) 2 ( ) 0×C (
4、 ) 2 ( ) 0 = ． 6分
所求概率为 + = ． 8分
(3) 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相独立（9分），∴ P(`A·`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p1)(1－p2) = ×= （11分），∴ 1－P(`A·`B ) = 为所求概率． 12分
3．解（1）∵，，∴，．
∵=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴．……………………4分
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分
设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．
∵，∴
5、． ∵，∴………8分
∵点P在双曲线上，∴．
化简得，．∴．∴ ．∴双曲线的方程为…12分
4.解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴………………………………………4分
（2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=2a-12x2=0，得．…10分 若∈，即0＜a≤6，则
，
故此时不存在符合题意的；
若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．
令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．………………13分
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