不变子空间、若当、最小多项式(简介).doc

§7 不变子空间
◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.
已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.
一、定义与例子
1.定义：，是的不变子空间是的子空间，且有.
简称-子空间. （注意：与线性变换有关）
2.例子：设，则下列子空间都是的不变子空间：
1） 2） 3） 4） 5）
例1若线性变换与是可交换的，则的核与值域都是-子空间.
二、线性变换在不变子空间上的“限制”
1.定义：设是的不变子空间，可只在中考虑，记为.
【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果可分解为若干子空间的直和，那么对的线性变换的研究就归结为对各个子空间的直和研究.
2.区别：与的作用结果一样，但作用范围不同.即
；无意义.
三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）
设可分解为若干个-子空间的直和：，在每个不变子空间中取基，，并把他们合并为的一组基，则在这组基下，的矩阵具有准对角形，其中，是在对应基下的矩阵.
进一步的，我们有：
*四、不变子空间的直和分解
定理12：设线性变换的特征多项式可分解成一次因式：
,则可以分解成不变子空间的直和：
,其中.
§8 若当（Jordan）标准形介绍

若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵.
一、基本定义
1. 若当块
（是复数；注意对角元相同）
2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）
【问题】若当形矩阵的特征值＝？
例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）
二、主要结论
定理13： ，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵式若当形矩阵.
（这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被唯一决定的，它称为的若当标准形）
若用矩阵来描述，即
定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）
三、若当标准形的求法（第八章介绍）
【特例】若可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.

【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设，
证明无解，这里为三阶复数矩阵.
[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan矩阵这个性质，并联系特征值.

§9 最小多项式介绍
最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.
已知定理：方阵的特征多项式是的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路.
一、基本定义
定义：是方阵的最小多项式且次数最低、首项系数为.
例 数量矩阵的最小多项式是
二、基本性质
引理1矩阵的最小多项式必唯一.
证法 带余除法
引理2是的零化多项式是的最小多项式的倍式，即.
【特例】最小多项式是特征多项式的因式.
证法 带余除法
例 求的最小多项式.
【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？
例 阶若当块的最小多项式是
（直接计算，）
三、主要结论
定理 数域上矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.
推论 复数域上可对角化的充要条件是的最小多项式无重根.
例 设是阶幂等矩阵，且秩为.试求的相似标准形，并说明理由；求.
解法：由知有最小多项式且无重根，所以相似于对角矩阵，且特征值只能是或.又，故存在可逆矩阵使.
从而 .
矩阵相似对角化的应用
1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式
若矩阵与相似，则存在可逆矩阵使得，于是.
进一步有：当是多项式时，.
特例：当相似于对角矩阵时，由容易计算方幂.
2.求Fibonacci数列通项：
解法 用矩阵形式表示递推关系式
的特征值为，对应的特征向量为，
由此可求，即得.
3.利用矩阵相似对角化线性方程组
【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？
解 设最初城市、农村人口分别为，第年末人口分别为，则
，
记，可得.
为计算，可考虑把相似对角化.特征多项式.
对应的特征向量为；对应的特征向量为
取，得

令，有，得

可见当时，城市与农村人口比例稳定在.
定理7：设为实对称矩阵，则必存在正交矩阵，使得为对角阵.（注意：对角元恰好是的全体特征值） （常用于证明题）
[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有个特征向量作成标准正交基（见教材）也可用数学归纳法，将实对称矩阵用两次正交相似变换化为对角阵.
证明：设在维欧氏空间的标准正交基下的矩阵是，则是对称变换.
时，，取，则，有，即为所求.
设时命题成立（含义？），考虑的情形.设法把分解成，才能使用归纳假设：
1）对称有实数特征值（才能保证特征向量，正交矩阵要求实数矩阵）；
2）取，则是实特征向量.设是的正交补，则是-子空间，维数为，且是的对称变换.于是利用归纳假设，有个特征向量标准正交，联合即为的特征向量、标准正交基.
另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：显然. 设时命题成立，必有实数特征值（特征向量），取，则也是实特征向量.扩充成的标准正交基，以它们为列作级矩阵，则正交，且

注意到，故是的第一列，
于是形如,而对称，也对称，得，且是级对称矩阵.
由归纳假设，存在级正交矩阵，使得，取可得是正交矩阵，并且

又与相似，有相同的特征值，于是是的全部特征值.
《欧氏空间》复习
一、主要概念
1） 内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基
7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法
二、重要方法
1.验证欧氏空间.[内积4条公理]
2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.
3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]
4.正交补的构造与求法.
5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]
6.求正交矩阵，使得为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）
7.利用正交线性替换化实二次型为标准形.
*8.求最小二乘解.
三、思考题
1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？
（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补）
2.内积与标准正交基有何联系？
3.标准正交基有何作用？
4.如何构造子空间的正交补？
5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？
6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？
四、例题选讲

◎ 正定
证1：正定特征值的特征值
于是
证2：正定

《期末总复习》
一、考试题型
填空、计算、证明、讨论或判断
二、复习依据
作业（习题集）、例题、课外提高
三、各章主线
1.线性空间
线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标
子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和
同构……构造、判定、意义
2.线性变换
线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间
特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵
值域与核……基、维数、两者维数关系
3.Jordan标准形
不变因子 初等因子 Jordan标准形
4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）
内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）
正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）
对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）
四、注意事项
1.几类矩阵的特点、区别与联系：
……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.
2.线性变换问题与矩阵问题的转化
……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）
3.可验证的几种计算类型
特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、
正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或）
小学少先队组织机构
少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案：
一、成员的确定
1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。
2、中、小队长由暮从碧山下，山月随人归。
却顾所来径，苍苍横翠微。
相携及田家，童稚开荆扉。
绿竹入幽径，青萝拂行衣。
欢言得所憩，美酒聊共挥。
长歌吟松风，曲尽河星稀。
我醉君复乐，陶然共忘机。

【简析】终南山，在今陕西西安市南，地近京城而又山林幽静。斛斯山人想来是一位隐士，同时是李白的好朋友。这首诗只写一次很平常的作客经过，但写出了很淳朴的感情。各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。
3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。
4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。
二、成员的职责及任免
1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。
2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。
3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。
4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。