高中数学必修四第二章习题.doc

习题课(2)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b等于(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×＝.
答案：B
2．已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝(　　)
A．23 B．35
C. D.
解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝23.
答案：C
3．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为(　　)
A．(－，－) B．(，)
C．(－，) D．(，－)
解析：设b＝(x，y)，由已知条件，知
|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.
∴
解得或
∵向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，y>0，
∴b＝(，)，故选B.
答案：B
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(－3，－) B．(－3，)
C．(3，) D．(3，－)
解析：设点C的坐标为(x，y)，则
＝(x＋3，y－1)，＝(3,4)，
＝(x，y－5)．
∵∥，⊥，
∴
解得∴C(－3，)．
答案：B
5．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则
＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1，
此时点P的坐标为(3,0)，故选C.
答案：C
6．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：由题意知，D为BC的中点，
＝(＋)，
所以·(－)＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．
解析：＝(2,2)，||＝2，|·n|≤
|||n|＝4，当且仅当与n共线且同向时取等号．
答案：4
8．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析：由已知，得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，所以向量a与b同向．
又因为向量c与它们反向，
所以a·b＋b·c＋c·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°
＝3－4－12＝－13.
答案：－13
9．已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则(＋)·(＋)的最大值为________．
解析：设＝λ(0≤λ≤2)，则
＋＝λ＋－
＝λ(＋)＋－
＝(λ＋1)＋(λ－1)，
＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋＋
＝＋－2λ
＝(1－2λ)(＋)，
∴(＋)·(＋)
＝[(λ＋1)＋(λ－1)][(1－2λ)·＋(1－2λ)]
＝(λ＋1)(1－2λ)2＋(λ－1)(1－2λ)·2
＝－16λ2＋8λ(0≤λ≤2)．
∴(＋)·(＋)的最大值为＝1.
答案：1
三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．
(1)若a⊥b，求k的值；
(2)若|a＋b|不超过5，求k的取值范围．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
即(－2,2)·(5，k)＝0，
(－2)×5＋2k＝0⇒k＝5.
(2)a＋b＝(3,2＋k)，
∵|a＋b|≤5，
∴|a＋b|2＝32＋(2＋k)2≤25，
得－6≤k≤2.
11．(本小题15分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证法1∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，
∴(a－b)⊥c.

证法2如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意可知，连接AB，AC，BC的三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，
∴OC⊥AB，又∵＝a－b，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－，
∴k2－2k>0，解得k<0，或k>2.
即k的取值范围是k<0，或k>2.
12．(本小题15分)平面直角坐标系内有点P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－，]．
(1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；
(2)令f(cosx)＝cosθ，求f(cosx)的最小值．
解：(1)由题意得，
＝(1，cosx)，＝(cosx,1)．
∴·＝2cosx.
又∵||＝，
||＝，
∴cosθ＝＝.
∴向量和向量的夹角θ的余弦值为.
(2)由(1)得
f(cosx)＝，x∈[－，]．
设t＝cosx，则≤t≤1.
∴f(t)＝＝，≤t≤1.
可以证明，当≤t≤1时，t＋为减函数，
则f(t)＝是增函数．
∴f(cosx)的最小值是
f()＝＝.