西城区20182019学年第二学期高二期末数学试题及答案.doc

北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷
高二数学 2019.7
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 复数的共轭复数是（　　）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 已知，则（　　）
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 用，1，2，3，4，5这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 曲线在点处的切线方程为（　　）
（A）
（B）
（C）
（D）
O

y
5. 已知函数在上有导函数，图象如图所示，
则下列不等式正确的是（　　）

（A）
（B）
（C）
（D）
6. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,要求必须有女生,那么不同的选派方案种数为（　　）
（A）
（B）
（C）
（D）

甲
乙
丙
丁
甲

乙

丙

丁

7. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（　　）
（A）
（B）
（C）
（D）

8. 设，随机变量的分布列为

那么，当在内增大时,的变化是（　　）
（A）减小
（B）增大
（C）先减小后增大
（D）先增大后减小
9. 已知函数，，下列说法中正确的是（ ）
（A）在点处有相同的切线
（B）对于任意恒成立
（C）的图象有且只有一个交点
（D）的图象有且只有两个交点
10. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如下图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么
可以表示的三位数的个数为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知函数，则_______.
12. 二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
13. 若复数满足，则_________.
14. 能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是
______________．
15. 北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示.
设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为，则______________．

16. 容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子.
现有粒子颗，粒子颗，粒子颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩颗粒子. 给出下列结论：
① 最后一颗粒子可能是粒子
② 最后一颗粒子一定是粒子
③ 最后一颗粒子一定不是粒子
④ 以上都不正确
其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分13分）
已知函数，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的单调区间.

18．（本小题满分13分）
某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.

19．（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最小值.

20．（本小题满分13分）
某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如下表（无废票）：

语文
数学
外语
物理
化学
生物
政治
历史
地理
高一（1）班
6
9
7
5
4
5
3
3
2
高一（7）班

6

4
5
6
5
2
3

该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.
（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求的所有取值；
（Ⅱ）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取位同学，设随机变量为投票给地理学科的人数，求的分布列和期望；
（Ⅲ）当为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?（结论不要求证明）

21．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上存在极值点，求的取值范围.

22．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的极值；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）判断函数的零点个数.（直接写出结论）

北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷
高二数学参考答案 2019.7

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
B D B D A A C B D B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 0 12. 60
13. 14. 或等，答案不唯一
15. 16. ①③
注：16题选对一个正确结论得分，错选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知， ……………………3分
所以 ，
所以 . ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
解，得或，
解，得. ……………………9分
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
……………………13分
18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.
所以,,.,,. …………2分
设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.
由已知是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，
………………6分

所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为. ……………………8分
（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为
. ……………………9分
设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则
……………………12分
.
所以至少有2个元件是一等品的概率为. ……………………13分

19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）. ……………………2分
由，解得；
由，解得.
所以函数的单调减区间为，单调增区间为. ………4分
Ⅱ）① 当，即时，
在上单调递减，
所以 ……………………7分
② 当，即时，
在上单调递增，
所以 ……………………10分
③ 当时，

极小值

所以 ……………………13分
综上，当时，；当时，；当时，

20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知 ，所以. ……………………1分
依题意， ……………………3分
即 解得 ，又，
所以 ，. ……………………4分
（Ⅱ）由已知，随机变量是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，
所以. ……………………5分
， ……………………6分
， ……………………7分
. ……………………8分

……………………9分
. ……………………10分
（Ⅲ）或. ……………………13分
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 当时，，.
所以， ……………………2分
所以 ，，
曲线在点处的切线方程为，
整理得 ……………………4分
（Ⅱ）因为，.
所以， ……………………6分
依题意，在区间上存在变号零点. ……………………7分
因为，设，所以在区间上存在变号零点. ……8分
因为， ……………………9分
所以，当时，，，所以，即，
所以在区间上为单调递增函数， ……………………12分
依题意， 即 ……………………13分
解得 . ……………………14分
所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.

22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，定义域为.
因为，所以. ……………………1分
令，解得，

极大值

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. ……………3分
所以有极大值，极大值为；没有极小值. ……………………4分
（Ⅱ）因为，所以在上恒成立，即在恒成立. ……………………5分
设
①当时，，不符合题意. ……………………7分
②当时，
. ……………………8分
令,即，
因为方程的判别式，两根之积. 所以有两个异号根. 设两根为，且， ……………………9分
i）当时，

极大值

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，不符合题意； ……………………10分
ii）当时，，即时，
在单调递减，所以当时，，符合题意
综上，. ……………………11分（Ⅲ）当或时，有个零点；当且时，函数有个零点.
……………………14分

16题提示：
1、最后剩下的可能是A粒子
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。
2、最后剩下的可能是C粒子
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。
3、最后剩下的不可能是B粒子
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个）
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变）
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个）
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子B多1个，AC共减少两个）
B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）
可以发现如下规律：
（1）从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。所以，最后剩下的不可能是B粒子。
（2）从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.

高二数学第二学期期末试卷 第12页（共12页）