第三讲：平方差公式练习题(含答案).doc

第三讲：平方差公式与完全平方公式
一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4
C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b-a）
C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）
3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．9
4．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（ ）
A．5 B．-5 C．10 D．-10
5．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．
7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．
9．（x+3）2-（x-3）2=________．
10．（1）（2a-3b）（2a+3b）； （2）（-p2+q）（-p2-q）；

（3）（x-2y）2； （4）（-2x-y）2．

11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．

12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？

二、能力训练
13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．±2
14．已知a+=3，则a2+，则a+的值是（ ）
A．1 B．7 C．9 D．11
15．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（ ）
A．10 B．9 C．2 D．1
16．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（ ）
A．25x2-4y2 B．25x2-20xy+4y2 C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y2
17．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；（2）若已知ab=10，a2+b2=4，ab的值呢？

19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．

20．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．

◆基础训练
1．完全平方公式：（a+b）2=______，（a－b）2=______．即两数的_____的平方等于它们的_____，加上（或减去）．
2．计算:
（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；
（2）（2x－3y）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．
3．（____）2=a2+12ab+36b2；（______）2=4a2－12ab+9b2．
4．（3x+A）2=9x2－12x+B，则A=_____，B=______．
5．m2－8m+_____=（m－_____）2．
6．下列计算正确的是（ ）
A．（a－b）2=a2－b2 B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2
C．（a2－1）2=a4－2a2+1 D．（－a+b）2=a2+2ab+b2
7．运算结果为1－2ab2+a2b4的是（ ）
A．（－1+ab2）2 B．（1+ab2）2 C．（－1+a2b2）2 D．（－1－ab2）2
8．计算（x+2y）2－（3x－2y）2的结果为（ ）
A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy
9．计算（a+1）（－a－1）的结果是（ ）
A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1
10．运用完全平方公式计算:
（1）（a+3）2 （2）（5x－2）2 （3）（－1+3a）2

（4）（a+b）2 （5）（－a－b）2 （6）（－a+）2

（7）（xy+4）2 （8）（a+1）2－a2 （9）（－2m2－n2）2

（10）1012 （11）1982 （12）19.92

11．计算:
（1）（a+2b）（a－2b）－（a+b）2 （2）（x－）2－（x－1）（x－2）

12．解不等式：（2x－5）2+（3x+1）2>13（x2－10）+2．

◆综合应用
13．若（a+b）2+M=（a－b）2，则M=_____．
14．已知（a－b）2=8，ab=1，则a2+b2=_____．
15．已知x+y=5，xy=3，求（x－y）2的值．

16．一个圆的半径为rcm，当半径减少4cm后，这个圆的面积减少多少平方厘米？

◆拓展提升
17．已知x+=3，试x2+和（x－）2的值．

参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．
6．（-2ab）；2ab
7．x2+z2-y2+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．
8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．
9．6x 点拨：把（x+3）和（x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）2-（x-3）2=（x+3+x-3）[x+3-（x-3）]=x·6=6x．
10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．
（3）x4-4xy+4y2；
（4）解法一：（-2x-y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-y）+（-y2=4x2+2xy+y2．
解法二：（-2x-y）2=（2x+y）2=4x2+2xy+y2．
点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]
=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]
=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2
=（y+z）2-（y-z）2
=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]
=2y·2z=4yz．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．
解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2．
∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）的正方形面积．做此类题要注意数形结合．

13．D 点拨：x2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k2=4，k取±2．
14．B 点拨：a2+=（a+）2-2=32-2=7．
15．A 点拨：（2a-b-c）2+（c-a）2=（a+a-b-c）2+（c-a）2=[（a-b）+（a-c）] 2+（c-a）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．
16．B 点拨：（5x-2y）与（2y-5x）互为相反数；│5x-2y│·│2y-5x│=（5x-2y）2=25x2-20xy+4y2．
17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a2+2a=1整体代入上式．
18．（1）a2+b2=（a+b）2-2ab．
∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=32-2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）2=102，
a2+2ab+b2=100，∴2ab=100-（a2+b2）．
又∵a2+b2=4，
∴2ab=100-4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．
19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），
（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，
9x2-24x+16>9x2-16，
-24x>-32．
x<．
点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．
20．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2
（2）n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．
证明：∵n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2
=n2+n2n+1）2+n2+2n+1
=n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1．
而[n（n+1）+1] 2=[n（n+1）] 2+2n（n+1）+1
=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
所以n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．

参考答案

1．a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 和（或差） 平方和 这两个数乘积的2倍
2．（1）2a 2a 1 1 4a2+4a+1 （2）2x 2x 3y 3y 4x2－12xy+9y2
3．a+6b 2a－3b 4．－2 4 5．16 4
6．C 7．A 8．A 9．A
10．（1）a2+6a+9 （2）25x2－20x+4 （3）9a2－6a+1 
（4）a2+ab+b2 （5）a2+2ab+b2 （6）a4－a2+
（7）x2y4+8xy2+16 （8）2a+1 （9）4m4+2m2n2+n4
（10）10 201 （11）39 204 （12）396.01
11．（1）－2ab－5b2 （2）2x－
12．x<11  
13．－4ab
14．10
15．13
16．（8r－16）cm2
17．7 5